直线系方程的应用.doc

PAGE PAGE 1 直线系方程及其应用 所谓直线系方程,是指满足某种特征的直线方程的全体.在解决直线方程问题时,若能巧妙地运用直线系方程的有关结论,有时可以收到事半功倍之效果.以下总结常见的直线系及其巧用. 一、直线系的类型 1.共点直线系方程 经过两直线的交点的直线系方程为 （为待定系数）. 2.平行直线系方程 与直线平行的直线系方程为（为参数）. 3.垂直直线系方程 与直线垂直的直线系方程是（为参数）. 二、直线系解题的巧用 1.共点的直线系方程的应用 例1.求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程． 【解析】方法一：解方程组得交点，因为，所以直线的斜率，方程为，即. 方法二：设所求直线：，由方法一知：代入方程，得，所以直线的方程为． 方法三：设所求直线： ，整理得 ，因为，所以，解得，所以直线的方程为即． 　例2.求过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 【解析】设所求直线方程为（其中不全为零）． 　　显然，当或时，所得直线方程不满足题意．故均不为零． 　　当时，；当时，． 　　根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等， 　　则， 　　令，则， 　　整理，得， 解得，或， 　　则，或， 　　故所求直线方程为，或． 　例1中，解法一是常规解法，解法二用待定系数法，解法三应用了经过两直线交点的直线系方程，省去了求两直线交点的解方程组的运算．例2中，利用过点的直线系方程（其中不全为零）确定直线方程，弥补了直线方程中几种常见的特殊直线方程形式的限制条件的不足，避免了分类讨论，解法具有通用性和简洁性． 2. 平行直线系方程的应用 与直线：（不同时为0）平行的直线系方程为：（） 例3.直线平行于两平行直线和且分这两平行线间的距离为 2：3，求的方程. 【解析】设的方程为（），由且，解得，故所求直线方程为. 对于已知两直线平行和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算. 3. 垂直直线系方程的应用 与直线：（A,B不同时为0）垂直的直线系方程为：. 例4.求过点且与直线 垂直的直线方程. 【解析】设：，因为过点，所以，故直线方程为. 对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算. 总结以上四个例题，值得我们注意的是直线表示的是过点的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．而平行直线系和垂直直线系则可以简化计算.