求数列前n项和的七种方法.docVIP

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. . 求数列前N项和的七种方法 公式法 等差数列前n项和: 特别的,当前n项的个数为奇数时,,即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。 等比数列前n项和: q=1时, ,特别要注意对公比的讨论。 其他公式: 1、 2、 3、 [例1] 已知,求的前n项和. 解:由 由等比数列求和公式得 (利用常用公式) ===1- [例2] 设Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求的最大值. 解:由等差数列求和公式得 , (利用常用公式) ∴ = == ∴ 当 ,即n=8时, 错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和:………………………① 解:由题可知,{}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{}的通项之积 设………………………. ② (设制错位) ①-②得 (错位相减) 再利用等比数列的求和公式得: ∴ [例4] 求数列前n项的和. 解:由题可知,{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积 设…………………………………① ……………………………② (设制错位) ①-②得 (错位相减) ∴ 练习: 求:Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1 解:Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1 ① ①两边同乘以x,得 x Sn=x+5 x2+9x3+······+(4n-3)xn ② ①-②得,(1-x)Sn=1+4(x+ x2+x3+······+ )-(4n-3)xn 当x=1时,Sn=1+5+9+······+(4n-3)=2n2-n 当x≠1时,Sn= 1 1-x [ 4x(1-xn) 1-x +1-(4n-3)xn ] 反序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个. [例5] 求的值 解:设…………. ① 将①式右边反序得 …② (反序) 又因为 ①+②得 (反序相加) =89 ∴ S=44.5 分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例6] 求数列的前n项和:,… 解:设 将其每一项拆开再重新组合得 (分组) 当a=1时,= (分组求和) 当时,= [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和. 解:设 ∴ = 将其每一项拆开再重新组合得 (分组) = (分组求和) = 练习:求数列的前n项和。 解: 裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) (2) (3) (4) (5) (6) [例9] 求数列的前n项和. 解:设 (裂项) 则 (裂项求和) = = [例10] 在数列{an}中,,又,求数列{bn}的前n项的和. 解: ∵   ∴ (裂项) ∴ 数列{bn}的前n项和 (裂项求和) = = [例11] 求证: 解:设 ∵ (裂项) ∴ (裂项求和) = === ∴ 原等式成立 练习:求 1 3, 1 1 5, 1 3 5, 1 63之和。 解: 合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn. [例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

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