专题14 平行线分线段成比例.doc

专题14　平行线分线段成比例 阅读与思考 平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论． 运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形： 例题与求解 【例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝，BC＝，E，F分别是AD，BC的中点，且AF交BE于P，CE交DF于Q，则PQ的长为＿＿＿＿． （上海市竞赛试题） 解题思路：建立含PQ的比例式，为此，应首先判断PQ与AD（或BC）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系． 【例2】如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，M是AC的中点，BM交AD，AE于G，H，则BG︰GH：HM等于（　　） A．3︰2︰1 B．4︰2︰1 C．5︰4︰3 D．5︰3︰2 （“祖冲之杯”邀请赛试题） 解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M作BC的平行线，构造基本图形． 【例3】如图，□ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作一直线分别交BA，BC的延长线于Q，R，交CD，AD于S，T． 求证：PQ?PT＝PR?PS． （吉林省中考试题） 解题思路：要证PQ?PT＝PR?PS，需证＝，由于PQ，PT，PR，PS在同一直线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形． 【例4】梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC． （1）如图1，如果P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB＝PE＋PF； （2）如图2，如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB＝PE＋PF这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由． （上海市闵行区中考试题） 图2 图2 图1 解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明AB＝PE＋PF，即要证明＋＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明． 【例5】如图，已知AB∥CD，AD∥CE，F，G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB，AD，CD，CE于点M，N，P，Q． 求证：MN＋PQ＝2PN． 解题思路：考虑延长BA，EC构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式． （浙江省竞赛试题） 【例6】已知：△ABC是任意三角形． （1）如图1，点M，P，N分别是边AB，BC，CA的中点，求证：∠MPN＝∠A； （2）如图2，点M，N分别在边AB，AC上，且＝，＝，点P1，P2是 边BC的三等分点，你认为∠MP1N＋∠MP2N＝∠A是否正确？请说明你的理由； （3）如图3，点M，N分别在边AB，AC上，且P1，P2，…，P2009是边BC的2010等分点，则∠MP1N＋∠MP2N＋…＋∠MP2009N＝＿＿＿＿． （济南市中考试题） 图1 图1 图2 图3 解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质． 能力训练 A级 1．设K＝＝＝，则K＝＿＿＿＿． （镇江市中考试题） 2．如图，AD∥EF∥BC，AD＝15，BC＝21，2AE＝EB，则EF＝＿＿＿＿． 第2题 第2题 第3题 第4题 第5题 3．如图，在△ABC中，AM与BN相交于D，BM＝3MC，AD＝DM，则BD︰DN＝＿＿＿＿． （杭州市中考试题） 4．如图，ABCD是正方形，E，F是AB，BC的中点，连结EC交DB，交DF于G，H，则EG︰GH︰HC＝＿＿＿＿． （重庆市中考试题） 5．如图，在正△ABC的边BC，CA上分别有点E，F，且满足BE＝CF＝，EC＝FA＝（＞），当BF平分AE时，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且AF︰FD＝1︰5，连结CF并延长交AB于E，则AE︰EB等于（　　） A．1︰10 B．1︰9 C．1︰8 D．1︰7 第6题 第6题 第7题 第8题 7．如图，PQ∥AB，PQ＝6，BP＝4，AB＝8，则PC等于（　　） A．4