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* 4、?其他方法: 1、定义法:适用于0比较多的行列式. 2、利用性质化三角形行列式 3、?按行(列)展开 分离因子法 箭形行列式 行(列)和相等的行列式 递推公式法 加边法(升级法) 拆项法 数学归纳法 (一)分离因子法 例:计算 解:由行列式 定义知为 的4次多项式. 又 当 时,1,2行相同,有 , 为D的根. 当 时,3,4行相同,有 为D的根. 故 有4个一次因式: 设 令 则 即 (二)箭形行列式 解:把所有的第 列 的 倍加到 第1列,得: 可转为箭形行列式的行列式: (把第 i 行分别减去第1行, 即可转为箭形行列式) (三)行(列)和相等的行列式 解: 解 (四)升级法(加边法) 解: 1) (五)递推公式法 展开 解 由以上两式解得 而 行列式的值求出 的值) (先将行列式表成两个低阶同型的行列式的线性 关系式,再用递推关系及某些低阶(2阶,1阶) (六)拆项法(主对角线上、下元素相同) 解: 继续下去,可得 当 时 当 时也可以用加边法做: (七) 数学归纳法 例 证明: 证:当 时, ,结论成立. 假设 时结论成立,即, 对 ,将 按最后一列拆开,得 所以 时结论成立,故原命题得证. (八) 范德蒙行列式 解:考察 阶范德蒙行列式 例 计算行列式 显然 就是行列式 中元素 的余子式 , 即 ,( 为代数余子式) 又由 的表达式及根与系数的关系知, 中 的系数为: 即 练习1 计算 解 开 解: 即有 于是有 练习2 计算 同理有 即 解 练习3 计算 ① 又 当 时 当 时 ② ① ② ,得
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