数列专题训练包括通项公式求法和前n项和求法(史上最全的方法和习题).docVIP

. . 数列专题 1、数列的通项公式与前n项的和的关系 ( 数列的前n项的和为). 2、等差数列的通项公式 ； 3、等差数列其前n项和公式为 . 4、等比数列的通项公式 ； 5、等比数列前n项的和公式为 或 . 常用数列不等式证明中的裂项形式: （1）(; (2) (3) (4); (5) (6)) 一.数列的通项公式的求法 1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 例．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式. 解：设数列公差为 ∵成等比数列，∴， 即 ∵， ∴………………………………① ∵ ∴…………② 由①②得：， ∴ 2.公式法：已知（即）求，用作差法：。 例．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。 解：由 当时，有 ……， 经验证也满足上式，所以 3.作商法：已知求，用作商法：。 如数列中，对所有的都有，则______ ； 4.累加法： 若求：。 例. 已知数列满足，，求。 解：由条件知： 分别令，代入上式得个等式累加之，即 所以 ， 例：已知数列，且a1=2，an+1=an+n，求an. 解： ∴，，，···， 将以上各式相加得 又因为当n=1，成立， ∴ 5.累乘法：已知求，用累乘法：。 例. 已知数列满足，，求。 解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即 又， 例：已知,求通项an. 解：∵ ∴，，… ， 把以上各项式子相乘得 ∴ 又当n=1时，成立 ∴ 6.已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。 （1）形如只需构造数列，消去带来的差异．其中有多种不同形式 = 1 \* GB3 ①为常数，即递推公式为（其中p，q均为常数，）。 解法：转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。 例. 已知数列中，，，求. 解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则, 所以. = 2 \* GB3 ②为一次多项式，即递推公式为 例．设数列：，求. 解：设，将代入递推式，得 …（１）则,又，故代入（１）得 备注：本题也可由 ,（）两式相减得转化为求之. = 3 \* GB3 ③ 为的二次式，则可设; （2）递推公式为（其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 解法：该类型复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得： 引入辅助数列（其中），得：再应用类型（1）的方法解决。 例. 已知数列中，,，求。 解：在两边乘以得： 令，则,应用例7解法得： 所以 （3）递推公式为（其中p，q均为常数）。 解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型（2）的方法求解。 例. 已知数列中，,,，求。 解：由可转化为 即或 这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即 又，所以。 7. 形如或的递推数列都可以用倒数法求通项。 例： 解：取倒数： 是等差数列， 8、型 该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型，然后再用递推法或待定系法构造等比数列求出通项。 两边取对数得 设 ∴原等式变为即变为基本型。 例．已知，求其通项公式。 解：由知且， 将等式两边取对数得， 即， ∴为等比数列，其首项为，公比为2 ∴， ∴。 通项公式为 二.数列的前n项求和的求法 1.公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式， 特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：，，. 例、已知，求的前n项和. 解：由 由等比数列求和公式得 （利用常用公式） ＝＝＝1－ 2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 例2、 求数列的前n项和：，… 解：设 将其每一项拆开再重新组合得 （分组） 当a＝1时，＝ （分组求和） 当时，＝ 3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）. 例3、求的值 解：设…………. ① 将①式右边反序得 …………..② （反序） 又因为 ①+②得 （反序相加） ＝89 ∴ S＝44.5 4.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的