拨激发学生思维的火花堂求数列通项训练课.doc

2014-2015学年度第一学期特级教师优秀教学案例“点”与“拨”激发学生思维的火花堂求数列通项训练课（片断）宁波市北仑明港中学 陆安定 一、教案例描述 上课伊始，老师在黑板上打出上节课后留下的思考题： 已知数列｛an｝中，a2=2，an+1= (n∈N*)，求数列通项公式an。 让学生各抒己见，充分发表自己的观点，老师一一笑纳，并不失时机地给予“点”、“拨”引导，帮助学生在反思的基础纠正错误，进入正确的解题方向，下面是对这部分教学过程的描述： 学生1：由a2= ，a2=2。得a1= 故d= a2- a1=2+ = ∴an=a1+(n-1)d= n- 老师：你用等差数列通项公式求出了an，但，你知道这是等差数列吗？ 学生：不知。 老师：不是等差数列，能用等差数列的公式吗？ 学生：不能。 老师：对呀！只有确定了数列是等差数列，才能用等差数列的有关知识。请大家务必要防止这种对公式盲目的“套用”现象。 学生2：由递推公式，可以求得此数列的前4项为：- ，2， ， ，统一形式为： ， ， ， 。则易知此数列中的项是一个分数，且分子都是2，分母依次组成等差数列，从而得：an=　 = 老师：这位同学非常好地运用了“通过前几项排列的规律，获知第n项结果”这种从具体到一般的数学思想方法，完成得很精采，我想信所有的同学肯定都有同感，这种方法很值得大家借鉴、学习。 （话锋一转）但我总有这么一种担心，a5是不是仍符合前四项的这个规律？ 学生：有，我算过a5= 老师：那a6呢？（静观学生中的反应，然后）a7呢？…应该承认，以后的项是否仍有这样的排列规律，的确不得而知，在没有找到这样的保证之前，这位同学的结果，只能算是对an的一个猜测（推测）。 老师： 猜测需要证明（找到保证）！ （ 引出新问题：怎么证明？还是另辟途径？）以下是另辟途径的启发、引导过程。 老师：你们都确信an= 是正确的吗？ 学生：是。 老师：那么｛an｝确实不是等差数列，因为等差数列的通项公式是n的一次函数形式，而an不是，但…（让学生思考）。 学生： =2n- 是n的一次式，因而｛ ｝是等差数列。 老师：受此启发，大家不是找到解题的新方向了吗？ （师生一起：论证： - =2） 老师：动手试一下。 （让学生板演推论过程后） 老师：由于证明了｛ ｝是等差数列，因此，可以应用等差数列的通项公式得： = +（n-1）·2，求得an= 老师小结：在猜想结果启发下，我们发现了一个相关的等差数列｛ ｝，进而通过等差数列的知识解决了这个问题。这条思路的发现方法，又是非常值得同学们学习和仿效的。 对猜想结果的论证，用以后学习的数学归纳法这种论证方法一般都可以方便地解决。因此，在数列问题中，算前几项，猜后面的项是行之有效的解决方法。课后，请大家做下面一道题，作为进一步的学习材料： 数列｛an｝中，a1=3，an= 2an-1-1（n∈N＊，n1），求an。 老师：在黑板上打出第二题： 已知数列｛an｝的前n项之和 Sn=3+2n-2n，求an。 给予学生适当的思考时间后，开始交流和讨论，汇报他们所做所得。 老师：是不是与上题一样，也通过算几项，猜一猜？ 学生：是。 老师：好！那么a1=？　a2=？ a3=？ a4=？ 学生：a1=3，a2=0，a3=-2，a4=-6 （老师在算法上有意识的征求大家的意见，并在a1 、a2、 a3、 a4的值旁边注上所获得的最佳探求过程：a1= s1 ，a2= s2- s1 ，a3= s3- s2 ，a4= s4- s3。） 老师：根据前四项的数值，很难找出其中排列的明显规律（上一题的方法）。对不对？ 请大家开拓一下思路，扩大观察的视野。 学生：从算的式子看，可以得到规律：an =Sn -Sn-1，进而得an=2-2n-1。 老师：太好了！先猜测列出的会是什么样的式子，进而推测出会有的结果，学会分步完成非常好！对这个猜测的结果，大家有没有异议？ 学生：n=1时，不是这个形式，而是a1=S1，因而要分类写。 老师：也就是an= 　＝ 学生：对。 老师：这个结果当然仍是猜测，想想怎么证明？（一会后）其实也非常容易证明：Sn =a1 + a2 +…+ an-1 +an ，Sn=a1 + a2 +… +an-1（ｎ1），就可以推出Sn -Sn-1= an（两式相减），而n=1时，a1= S1 显然！ 老师小结：在算前几项，猜后面的项这一方法实施过程中，算前几项的目的并不在于这几项的数值是多少，而是在于找后面的项所具有的规律。本例说明，有时列式子，比算数值更有用，因为“列式”更有利于找出从中的规律！ 本例也获得了数列前n项和与通项之间的关系an