《直线与圆的位置关系》课件1 (3).ppt

问题2：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的? 动手做一做 ●O 画一个⊙O及半径OA，画一条直线l经过⊙O的半径OA的外端点A，且垂直于这条半径OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？ ┐ A l .O l A 切线的判定定理 经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ∵OA⊥l ∴直线l是⊙ O 的切线 知识归纳 条件： (1)经过圆上的一点； (2)垂直于该点半径； 推理 格式 由此，你知道如何画圆的切线吗？ O A B C 直线AB经过圆O上的C，并且OA＝OB，AC＝BC， 求证：直线AB是圆O 的切线 证明一条直线是圆的切线时: 直线与圆有交点时，连接交点与圆心，证垂直. 已知：如图，O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于点D，以O为圆心，OD为半径作⊙O. 求证： ⊙O与AC相切 证明一条直线是圆的切线时: 直线与圆的交点不明确时，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径.（d＝r) B C D O A E 例3 已知：如图2-6，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC， ∠ A＝30 ° ．求证：直线AB是⊙ O的切线． 证明 连结OB. ∵ OB＝OC，AB＝BC， ∠ A＝30 °， ∴ ∠ OBC＝ ∠ C＝ ∠ A＝30 ° ， ∴ ∠ AOB＝ ∠ C＋ ∠ OBC＝60 °. ∵ ∠ ABO＝180 °-(∠ AOB＋ ∠ A) ＝180 ° -（60 ° +30 °)＝90 °， ∴ AB ⊥OB， ∴ AB为⊙ O的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）. 例4 如图2-7，台风中心P(100，200)沿北偏东30 °方向移动，受台风影响区域的半径为200km．那么下列城市A(200，380)，B(600，480)，C(550，300)，D(370，540）中，哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？ 解 如图2-7，在直角坐标系中画出以点P(100，200)为圆心，以200为半径的⊙ O，再在点P处画出北偏东30 °方向的方向线，作垂直于方向线的⊙P的直径HK，分别过点H，K作⊙ O的切线l1，l2，则l1//l2. 因为台风圈在两条平行线l1，l2之间移动，点A，D落在切线l1，l2之间，所以受到这次台风的影响；而点B，C不在切线l1，l2之间，所以不受到这次台风的影响． 方法归纳： 证明一条直线是圆的切线的常见方法有两种： （1）当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”. (2)当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”. 如果直线l是⊙O的切线，点A为切点，那么半径OA与l垂直吗？ 知识探究 思考： ●O A l .O l A 切线的性质定理 推理 格式 ∵直线l是⊙ O 的切线 ∴ OA⊥l 知识归纳 圆的切线垂直于经过切点的半径. 你能证明这个定理吗？ 已知：如图，点A是⊙O外一点，OA交⊙O于点B，AC是⊙O的切线，切点是C，且∠A＝30°，AB＝1.求⊙O的半径 方法归纳： 已知圆的切线时，经常连接圆心和切点，得到半径垂直于切线，通过构造直角三角形来解决问题. 例5 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图2-9，用角尺的较短边紧靠⊙O于点A，并使较长边与⊙O相切于点C.记角尺的直角顶点为B，量得AB＝8cm，BC＝16cm．求⊙O的半径． 解 连结OA，OC，作AD ⊥ OC，垂足为D．设⊙ O的半径为r. ∵ ⊙O与BC相切于点C， ∴ OC ⊥ BC（经过切点的半径垂直于圆的切线）. ∵ AB ⊥ BC，AD ⊥ OC， ∴四边形ABCD是矩形， ∴ AD＝BC，DC＝AB， OD＝OC-CD＝OC-AB. 在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2， 即r2＝(r-8)2+162，解得r＝20. ∴ ⊙ O的半径为20cm. 例6 已知：如图2-10，直线AB与⊙ O相切于点C，AO交⊙ O于点D，连结CD，OC求证： ∠ ACD＝ ∠COD. 证明 如图2-10，作OE ⊥ CD于点E， 则∠ COE＋ ∠OCE＝Rt ∠ ． ∵ ⊙ O与AB相切于点C， ∴ OC ⊥ AB（经过切点的半径垂直于圆的切线）， 即∠ ACD＋ ∠OCE＝Rt ∠ ． ∵ ∠ ACD＝ ∠ COE. ∵ △ODC是等腰三角形，OE ⊥ CD， ∴ ∠ COE＝ ∠COD， ∴∠ ACD＝ ∠