《排列与组合》课件.ppt

例1：从一楼到二楼共有17级台阶，上楼时可以一步走1级，也可以一步走两级，若要求11步走完楼梯，则有多少种不同的走法？ * ——组合应用题 复习巩固： 1、组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示. 2、组合数: 3、组合数公式: 例8、 在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 反思：“至少”“至多”的问题， 通常用分类法 或间接法求解。 练习 按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选； 例．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： （1）分成1本、2本、3本三组； （2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本， 一个人2本，一个人3本； （一）等分组与分配问题 （3）分成每组都是2本的三个组； （4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本. （5）分成4本、1本、1本三组； （6）分给甲、乙、丙三人，其中一个 人1本，一个人1本，一个人4本； 例．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： （7）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本 解：可以分为三类情况： ①“2、2、2型” 的分配情况，有 种方法； ②“1、2、3型” 的分配情况，有 种方法； ③“1、1、4型”，有 种方法， 所以，一共有90+360+90＝540种方法． 点评： 本题是分组中的“平均分组”问题． 一般地：将mn个元素均匀分成n组（每组m个元素）,共有 种方法 (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法? 注意： 对于排列组合的混合应用题， 一般解法是先选后排。 例 某车间有11名工人，期中有5名钳工，4名车工，另外2名既能当钳工又能当车工，现要在这11名工人中选派4名钳工，4名车工修理一台机床，有多少种选派方法？ （二）多面手问题 解:第一类:选派的4名钳工中无“多面手”,此时有选派方法 种; 第二类:选派的4名钳工中有1名“多面手”,此时有选派方法 第三类:选派的4名钳工中有2名“多面手”,此时有选派方法 由分类加法计数原理，不同的选派方法共有： 某小组共有10人，期中有5人会英语，7人会俄语，其中有2人既会外语又会俄语，现要在这10人中选派4人，其中2人做英语翻译，2人做俄语翻译，有多少种选派方法？ （三）元素相同问题隔板策略 例.有10个运动员名额，再分给7个班，每 　　班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成 　　一排。相邻名额之间形成９个空隙。 在９个空档中选６个位置插入隔板， 可把名额分成７份，对应地分给７个 班级，每一种插板方法对应一种分法 共有___________种分法。 一班 二班 三班 四班 五班 六班 七班 将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为 练习、 （1）10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少 一个，共有多少种不同的分配方法？ （2）10个优秀指标分配到1、2、 3三个班，若名 额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？ 分析：（1）这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可构造数学模型 ，用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，即有 种方法。按照第一个隔板前的指标数为1班的指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指标，以此类推，因此共有 （2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个，然后，问题转化为7个优秀指标分给三个班，每班至少一个.由（1）可知共有 种分法 练习：将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒至少1球的放法有多少种？ 隔板法：待分元素相同，去处不