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第四章 四边形综合练习 【例题精选】： 例1、已知：一个多边形的内角和是1620?。求这T多边形的边数。 分析：n边形的内角和公式是，由已知给出内角和是1620?，因此可以直接列方程求出 解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得： (n－2)?180?=1620? 答：这个多边形的边数为11。 例2：n边形的每一个内角都相等，它的一个外角与一个内角的比是2∶3。求这个n边形的边数。 分析：n边形的每一个内角都相等，告诉我们n边形的每一个外角也相等，因为一个内角与一个外角的和是180?，而它们的比是3∶2，所以可求出这个多边形的外角和内角。 解法一：由题意得：这个多边形的一个内角为 答：这个n边形的边数是5。 解法二：由题意得：这个多边形的一个外角为 答：这个n边形的边数为5。 注意：在计算多边形的边数时，更多的时候利用外角和更简便。 例3、一个n边形的内角和和它的一个外角的和等于1500?。求这个多边形的边数n。 分析：任何一个多边形的内角和都是180?的整数倍，而多边形的任何一个外角的度数都小于180?，所以n应该是(n－2)?180? 1500?的解中最大自然数。 解：由题意得： 答：这个多边形的边数是10。 例4、如图，求的度数。 分析：如何把六个角转换到一个多边形中，是解决问题的关键；通过认真观察，不难发现，连结BE后，可把用代换。 解：连结BE （四边形内角和是360?） 例5：四边形有几条对角线？五边形、六边形各有多少条对角线？ 解：如图，四边形ABCD中，有两条对角线是AC和BD。 如图：五边形ABCDE中，过点A的对角线有AC和AD，过B点的对角线有BD和BE，过点C的对角线有CE；共有2+2+1=5条。 如图：六边形ABCDEF中，过点的对角线有AC、AD、AE；过点B的对角线有BD、BE、BF；过点C的对角线有CE、CF；过点D的对角线有DF，共3+3+2+1=9条。 例6、通过作出四、五、六边形的对角线，你能想象出十边形、二十二边形、n边形的对角线有多少条吗？ 分析：请你画一个十边形，并依次作出所有的对角线，就会发现十边形对角线的条数是：7+7+6+5+4+3+2+1=7+(7+1)+(6+2)+(5+3)+4==7+4×7=35（条） 对于上面的运算你能理解吗？原来是除第一个数以外，求后七个数的和的计算中，表示了这七个数的和的平均数。 在计算二十二边形的对角线时，不用画图，能写出计算的式子吗？不难发现，应该是：19+19+18+……+2+1=19+=19+190=209。 则对于n边形的对角线的条数的计算在情理之中： 注意：多边形的对角线的条数计算公式理解了以后，直接代入计算即可。 例7、已知两组对应边互相垂直的两角之差为45?，求这两个角的度数。 分析：对应边互相垂直的两个角相等或互补，如图所示：?A和?1互补，?A和?2相等，由题意，两角之差为45?，相等不可能，只有互补； 解：设这两个角分别为 此方程组无解，这个方程组的解为 答：这两个角的度数分别为 112.5?和67.5?。 例8、已知：如图，ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E，F分别是BO、DO的中点，求证：AE=CF 分析： （1）首先认真读题，分清已知条件与所求证的结论。 （2）通过观察图形，AE和CF在△ABE和△CDF中，由已知，可得到AB=CD，?1=?2，BE=DF，符合全等条件。 证明：四边形ABCD是平行四边形。 AB=CD，OB=OD，AB∥CD。 又E、F分别是BO、DO的中点， 看过这个证明以后，你想一想其他证明方法：①证明四边形AECF是平行四边形，②证明△≌△CFO。请自己写出证明过程； 例9、已知：如图，在ABCD的对角线AC上取二点E、F，使AE=CF，求证：四边形DEBF是平行四边形。 分析：欲证四边形DEBF是平行四边形，则需要让四边形DEBF中的某些条件满足判定定理即可。通过认真观察，由已知条件，可得出△≌△CFB，△CFD≌△AEB，则DE=BF，DF=EB，命题得证。 证明：四边形ABCD是平行四边形。 ∥DC △ABE≌△CDF EB=FD 同理可证：DE=BF 四边形DEBF是平行四边形（两组对边相等的四边形是平行四边形） 注意：此题的证明方法比较多，连结DB，可以证明对角线互相平分，得到四边形DEBF是平行四边形，还可以通过对边互相平行，或一组对边平行且相等，达到证明的目的。请你能否根据以上证题思路写出证法二和证法三？ 例10、已知：如图，△中，AB=AC，点D是