课件：一维随机变量及其分布.ppt

整理得 Y=X-4 的概率密度为： 本例用到变限的定积分的求导公式： 注意：求Y的密度函数并不需要把Y的分布函数具体求出。 总结一般规律，回节首 例3 已知 X 密度函数为 为常数，且 a ? 0, 求fY( y ). 解 当a 0 时， 当a 0 时， 故 例如，设 X ~ N (? ,?2) , Y = a X +b, 则 Y ~ N ( a? +b, a2?2 ) 特别地 ，若 X ~ N ( ? ,? 2) , 则 例 4 设随机变量 X 具有概率密度 求 Y = X 2 的概率密度.(非单调) 解：(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y). (2) 可得 例如,设 X~N(0,1),则 Y = X 2 的概率密度为： THANK YOU SUCCESS * * 可编辑 例3:一个完全不懂英语的人去参加英语考试.假设此考试有5个选择题，每题有4重选择，其中只有一个答案正确.试求：他居然能答对3题以上而及格的概率. 解:由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个Bernoulli试验。 另问：全部答错的概率？ 0.237 (3) Poisson 分布 或 　回顾： 的幂级数展开式？ 或 若变量X 满足 其中 是常数，则称 X 服从参数为　的 Poisson 分布，记作 例 4 设随机变量 X 服从参数为λ的 Poisson 分布，且已知 试求 解：随机变量 X 的分布律为 得 由已知 那么 3 连续型随机变量及其概率密度 引例　 考虑某车床加工的零件长度与规定的长度的偏差，通常知道偏差的范围，设其偏差的绝对值最大是a, 那么 V ［-a, a］． 定义 设X 是一随机变量，若存在一个非负可积函数 f ( x ), 使得 其中F ( x )是它的分布函数. 则称 X 是连续型随机变量，f ( x )是它的概率密度函数，简称为密度函数或概率密度. 一、连续型随机变量的概念 x f (x) x F (x) 分布函数 F (x) 与密度函数 f (x) 的几何意义: 建立坐标系,给出f(x)的图像。 f ( x )的性质： 1、 2、 　我们常利用此性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数。 3、 在 f ( x ) 的连续点处， f ( x ) 描述了X 在 x 点分布函数值的变化率。 4、 对任意的ab,有 注意: 对于连续型随机变量X , 密度函数的积分才 对应着概率值，故有P ( X = a) = 0，这里 a 可以是 随机变量 X 的一个可能的取值。 命题 连续型随机变量取任一常数的概率为零，则 要注意不可能事件的概念与　　　　　　不同。 那么，对于连续型随机变量X b x f ( x) a x f ( x) a 例1 设随机变量 具有概率密度函数 试确定常数A， 以及 的分布函数. 解 由 知A=3，即 而 的分布函数为 (1) 均匀分布 则称 X 服从区间( a , b)上的均匀分布,记作 若X 的密度函数为 X 的分布函数为 二、常见的连续性随机变量的分布 THANK YOU SUCCESS * * 可编辑 均匀分布的密度函数和分布函数图像： a b x F (x) 0 1 密度函数： 分布函数： x a b 0 f(x) (2) 指数分布 若 X 的密度函数为 则称 X 服从 参数为?的指数分布。 记作 X 的分布函数为 ?? 0 为常数 一般地，若X 的密度函数为 则称 X 服从参数为 ? , ? 2 的正态分布 为常数， 记作 (3) 正态分布 首先看标准正态分布 f (x) 的性质： 图形关于直线 x = ? 对称： f (? + x) = f (? - x) 在 x = ? 时, f (x) 取得最大值 在 x = ?±? 时, 曲线 y = f (x) 在对应的点处有 拐点 曲线 y = f (x) 以x轴为渐近线 曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状 x f (x) 0 若?1 ?2，则 ，前者取?附近 值的概率更大. x = ? ? ?1 所对应的拐点 　 应用场合 若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因 素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的， 且这些影响可以叠加, 则X 服从正态分布. 海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度； 热噪声电流强度； 学生们的考试成绩； 可用正态变量描述的实例非常之多： 各种测量的误差； 人的生理特征； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量； 密度函数的验证