无穷递缩等比数列的应用-长沙周南中学.ppt

 让我们再看一看乌龟所走过的路程:设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，龟在前面100米。当阿基里斯跑了100米时，龟已前进了10米；当阿基里斯再追10米时，龟又前进了1米，阿再追1米，龟又进了0.1米 所以阿基里斯追上乌龟所必须跑过的路程为 * 无穷递缩等比数列的应用 授课人：李振华 （2005-05） 问题提出：我们先来看一篇阅读材料—— 一位古希腊学者芝诺（Zenon，公元前496～前429）曾提出一个著名的“追龟”诡辩题。大家知道，乌龟素以动作迟缓著称，阿基里斯则是古希腊传说中的英雄和擅长跑步的神仙。芝诺断言：阿基里斯与龟赛跑，将永远追不上乌龟！ 其理由是：如图所示，假定阿基里斯现在A处，乌龟现在T处。为了赶上乌龟，阿基里斯先跑到乌龟的出发点T，当他到达T点时，乌龟已前进到T1点；当他到达T1点时，乌龟又已前进到T2点，如此等等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前爬动了一段距离。因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！ A T T T1 T1 T2 右端显然为一无穷递缩等比数列的和，根据以前学过的公式及极限定义有 所以，阿基里斯只要坚持不到112米的路程就可以追上乌龟！ S= 牛刀小试之熟练公式篇： 如何把0. 化成分数形式？ 0. =0.3+0.03+0.003+ = = 分析： 实战演练篇： 解：正方形的面积组成一个无穷递缩等比数列，首项为a1= a2，由于相邻的两个正 方形中小正方形与大正方形的边长比为 , 所以面积比即公比q= ， 因此所有正方形的面积之和为S= B a D C A 1—（1） 例1、在边长为a的正方形ABCD内依次作内接正方形AiBiCiDi（ｉ=1，2，3 ） 如图1—（1）使内接正方形的四个顶点恰为相邻前一个 正方形边的中点，求所有正方形的面积之和； 变式：如果使内接正方形与相邻前一正方形的一边的夹角为 ， 如图1—（2）求所有正方形的面积之和。 D C B A A1 B1 C1 D1 1—（2） 分析： 正方形的面积仍然组成一个无穷递缩等比数列，首项为a1= a2, 先求相邻的两个正方形中小正方形与大正方形的边长比——如图令A1D1=x,则 a 所以边长比为 面积比即公比q为 从而所有正方形的面积和为 经验积累：与实际问题结合的无穷递缩等比数列的求和问题，关键是求出 首项及公比，求公比时，要特别注意相邻两个图形之间的联系。 解：设第n次被剪去的半圆面积为an（n=1，2，3 ）,则 a1= a2= a3= 它们组成一个无穷递缩等比数列, 故所有这些被剪掉部分的面积和为 则 例2.如图所示，Ｐ是一块半径为１的半圆形纸板，在Ｐ的左下端剪去一个半径为 的半圆后得图形P1，然后依次剪去更小半圆（其半径为前一被剪掉半圆的半径一半）得图形 记被剪剩下的纸板Pn的面积为Sn，求 Sn。 探索创新篇 如图，封闭图形P表示抛物线弧y=x2（ ）与x轴及直线x=2围成的图形,如何求封闭图形的面积? P *