课件：两个重要极限.ppt

解 例15 典型极限 解 解 解 练习 小结 重要极限一 : 重要极限二 ： （3）倒数关系 思考题 求极限 思考题解答 THANK YOU SUCCESS * * 可编辑 可编辑 可编辑 第五讲 函数极限的计算 两个重要极限 内容提要 1. 两个重要极限； 2. 两个极限存在准则。 教学要求 熟练掌握用两个重要极限求极限； 一、极限存在的两边夹准则 （1）夹逼准则 都有不等式 ) ( ) ( ) ( x h x f x g ￡ ￡ 成立 , 且 A x h x g x x x x = = ? ? ) ( lim ) ( lim 0 0 〖注〗 准则一 对 ￥ ? x 等 情况也成立。 极限存在准则 利用两边夹法则可以证明: （两边夹法则） 由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求 极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。 二、复合函数极限 定理 （复合函数极限运算法则——变量代换法则） 证 由极限定义得 此定理表明： 则可作代换 ——极限过程的转化 注 可得类似的定理 例1. 求 解: 令 ∴ 原式 = 例2 . 求 解: 方法 1 则 令 ∴ 原式 方法 2 复习：单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释: 三、两个重要极限 ( x 取弧度单位 ) 如图所示 , 作单位圆 则圆心角∠ AOB= x ， 显然有 AOD AOB S S S D D AOB 扇形 即 x x x tan sin 分别除以 x sin 对于 情形, 有 证: x 再取倒数 , 得 1 sin cos x x x ……………… (1) 由于用 x - 代替 x 时 x cos 和 x x sin 都不变号 不等 式 (1) 仍成立 , 恒 有不等式 1 sin cos x x x 成立。 3 ．由于 1 cos lim 0 = ? x x , 且 1 1 lim 0 = ? x , 由夹逼准则 可知 , 1 sin lim 0 = ? x x x . 证毕 从而当 时 , 2 .对于 的情形 , 所以当 时 , 对 （偶函数）， 注意： 解 例 2 求 x x x 3 sin lim 0 ? 解 x x x 3 sin lim 0 ? 解 例 4 求 ) 0 , ( sin sin lim 0 1 ? b a bx ax x 解 解 当 ￥ ? n 时 , 因此 例5 , 有 例 6 解 解 THANK YOU SUCCESS * * 可编辑 解 练习 解 解 解 解 证明略 ( 可用两个准则证明 ) 。 例 1 解 解法一 令 t x = - 则当 ￥ ? x 时 有 ￥ ? t 所以 例 2 求 解法二 解 令 t x = 1 当 0 ? x 时 有 ￥ ? t 所以 例 3 （3）倒数关系 注意： 解一 解二 例4 求 解 例11 解 例13 典型极限 ～ 则有 复习: 若 解 例14 典型极限 可编辑 可编辑