极坐标知识讲座.doc

极坐标 , 其中是从 到 的有向距离, 是从初始射线到射线的有向角 一、如果不限制 的范围, 同一个点的极坐标表示不是唯一的.例如 表示同一个点. 二、极坐标r0的意义 XE 极坐标r0的意义 例1 用直角坐标系中的图形来理解四叶玫瑰线 当 时用描点方法作图.若 ，则极坐标系中点 实际上处于点 或 的位置上，于是得到如下的处理方法: 将直角坐标曲线 在轴下方的图形向左或向右平移 的整数倍，使之位于区间 内；再以 轴为轴线将这部分图形翻转到 轴上方，然后按， 情形的描点方法作图.注意负移正不动. 在直角坐标系中的图形 轴下方图形平移后的结果如下图 下方图形向上翻转得到 例3 求曲线 的全长． 分析 本例中 是一个连续的周期函数，其周期为 ，即区间 上的曲 线与区限 上的曲线完全重合．但这并不说明曲线的绕圈周期也一定就是 ，完全有可能是 实际上, 在区间 上曲线完成一个周期．而在区间 ．由丁 ，所以曲线与区间 上曲线完全重合. 事实上, 设 按照 的几何意义, 与 表示同一个点. 三、极坐标下的对称性 四、极坐标图形举例 例4 B1p165-20 双纽线 XE B1p165-20 双纽线 如图所示, 的点的轨迹. 由余弦定理, , 即 , 即 例5 脏线(左尖) XE 心脏线(左尖) 的图形 动画演示： 心脏线左尖.gif 心脏线左尖平行线.gif 例6 心脏线 XE 心脏线 的图形 心脏线 , 动画演示: 心脏线动画.gif 心脏线+平行线.gif 例7 设. 方程 要求 于是我们让 从 跑到 即 就得到整个图形. 对 和 之间的 每一个值 公式 给出 的两个值 动画演示: 双纽线2.gif 例8 的图形 动画:双纽线1.gif 例9 动画演示: 极坐标画花 XE 极坐标画花 .gif 例10 b1p175-33 动画 b1p175-33.gif 五、极坐标曲线的斜率 设曲线 改写成参数方程 心脏线 水平切线在 垂直切线在 六、极坐标面积微元 XE 极坐标面积微元 七、极坐标的弧长公式 XE 极坐标的弧长公式 设曲线 改写成参数方程 八、应用举例 1. 对数螺线 XE 对数螺线 一般对数螺线的极坐标方程是 ,其中 , 即 时的向径长度. 若 表示切线与向径的夹角, 则 , 即得 而 于是 由此可见, 在对数螺线上的任何一 点处切线与向径的夹角都是常数. 这样定义的对数螺线, 任何一对互相垂直的向径为边的矩形都是黄金矩形, 故称黄金对数螺线 XE 黄金对数螺线 . 2. 阿基米德螺旋线 XE 阿基米德螺旋线 有一种凸轮传动装置, 通过以匀角速度 转动的主动轮边缘来驱动从动杆, 使从动杆以匀速 作铅直上升的直线运动, 并周期性地突然下降再作铅直上升的直线运动, 如此周而复始. 这里 为初始向径, 参数 为转动时间, 消去其中的参数 得到 记 则有 如果对上式所表示曲线中的 的范围不加限制, 则可得到一圈圈向外呈发散状的螺旋线. 动画演示: 阿基米德螺线.gif 九、求极坐标图形的交点 XE 极坐标图形的交点 从图形上看, 曲线 与曲线 有四个交点. 但是我们联立 因为 所以舍弃 对应 的 值是 但是漏掉 和 两个交点. 为什么这两个交点没有被解联立方程发现? 回答是:点 和 不同时在曲线上, 即不是在同样的 值到达. 在曲线 上, 点 在 时到达; 而在曲线 上,点 在 时到达, 它没有从坐标得到,因为该坐标不满足方程, 但可以从坐标得到,后者满足方程. 类似地, 在 时到达原点, 而曲线 ,在 时到达原点. 动画演示: 极坐标曲线交点-动画.gif 在交通控制中,人们关心的是两个航空器是否会在同一时刻到达同一位置,而它们经过的曲线是否相交却无关紧要. 十、极坐标图形的渐近线 渐近线为 同理可求 渐近线为 无渐近线.