北师大版初一(上)第一章：丰富的图形世界讲义(二).docxVIP

第 PAGE 6页 第一章：丰富的图形世界（二） 1.2展开与折叠 1．正方体展开图上的数字问题 正方体是立体图形的展开与折叠的代表图形，与正方体的展开图有关的数字问题主要是相对面的找法，确定了三组相对面，数字问题便可迎刃而解． 正方体折叠问题拓展 ★拓展A：哪些图形不能折叠成正方体？ ①“凹”字形 ②“7”字形 ③“田”字形 ④“五子相连” ★拓展B：正方体折叠规律拓展 展开图沿横、竖方向展开时，一个方向必定由4个图形组成，而另一个方向必须是3个图形(一种例外)。 3-3型例外： 一个图形折叠以后能不能围成长方体或正方体，只要横着看、竖着看。先横着看，数一数有几排，再竖着看，数一数有几列。如果横看时数得三排，那么，竖看时必须数得四列；如果横看时数得四排，那么，竖看时必须数得三列；只有符合上面的要求，折叠以后才能围成长方体或正方体；如果不符合上面的要求，折叠以后就不能围成长方体或正方体。 ★拓展C：正方体折叠后相对面的确定 口诀：相间，“Z”端是对面。 如下图，我们先来统一一下认识： 把含有图（1）所示或可由其作旋转后的图形统称为“I”型图；把所给平面图中含有（2）、（3）、（4）所示或可由其作旋转后的图形统称为“Z”型图。 结论：如果给定的平面图形能折叠成一个正方体，那么在这个平面图形中所含的“I”型图或“Z”型图两端的正方形（阴影部分）必为折成正方体后的对面。 【例1】下图折叠成正方体后，哪些字代表的面是相对面？ 【例2】图中哪两个字所在的正方形，在正方体中是相对的面． ★拓展D：正方体折叠后邻面的确定 口诀：间二、拐角邻面知。中间隔着两个小正方形的两个面，或拐角型的三个面是正方体的邻面． 中间相隔两个小正方形：如中的AD为邻面； 拐角型：即，三个面相邻。 ★拓展E：正方体的每两个面不相邻则相对 结论：一个正方体有六个面，每个面都只有一个对面，因此，不是它的对面，那么就是邻面。 【例3】正方体有三种不同放置方式，问下底面各是几？ 【例4】由下图找出三组相对的面． 2．棱柱的表面展开图 棱柱是由两个完全相同的多边形底面和一些长方形侧面围成的．沿棱柱表面不同的棱剪开就可以得到不同的表面展开图．如图是棱柱的一种展开图． 棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(底面)和几个长方形(侧面)． 【例5】如图，请你在横线上写出哪种立体图形的表面能展开成下面的图形． 3．圆柱、圆锥的表面展开图 (1)圆柱的表面展开图 沿着圆柱的一条高把圆柱剪开，就得到圆柱的表面展开图．圆柱的表面展开图是两个圆(底面)和一个长方形(侧面)，如图所示． 如果两个底面圆在长方形的同一侧(如图所示)，折叠后上端没有底，下端有两个底，则它不能折叠成圆柱． (2)圆锥的表面展开图 如图所示，圆锥的表面展开图是一个圆(底面)和一个扇形(侧面)． ◆圆柱、圆锥、正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥、正三棱柱的展开图 【例6】如图所示图形都是几何体的展开图，你能说出这些几何体的名称吗？ 4．平面图形的折叠 平面图形沿某些直线折叠可以围成一定形状的立体图形，与立体图形展开成平面图形是一个互逆过程．我们已经见过很多平面图形了，但并不是所有的平面图形都能折成几何体． 根据平面展开图判断立体图形的方法： (1)能够折叠成棱柱的特征： ①棱柱的底面边数＝侧面的个数． ②棱柱的两个底面要分别在侧面展开图的两侧． (2)圆柱的表面展开图一定是两个相同的圆形和一个长方形． (3)圆锥的表面展开图一定是一个圆形和一个扇形． (4)能够折叠成正方体的特征： ①6个面都是完全相同的正方形． ②正方体展开图连在一起的(指在同一条直线上的)正方形最多只能为4个． ③以其中1个为底面，前、后、左、右、上面都有，且不重叠． 【例7】如图所示，哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？ 【例8】生活中我们经常可以见到各种各样的包装盒，你能用线将图中的实物和它的平面展开图连接 起来吗？ 【例9】如图所示，假定用A，B表示正方体相邻的两个面，用字母C表示与A相对的面，请在下面的正方体展开图中填写相应的字母． 【例10】要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为6，则x＝_____，y＝______. 【例11】小丽制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒(如图所示)，则这个正方体礼品盒的平面展开 图可能是( )． 5．表面展开图的应用 正方体与图案 正方体前面、上面、右面有不同的图案，按不同的类型展开后，其图案也会发生相应的变化．根据展开图判断是否与模型对应的方法： (1)三个面上的不同图案不会对立，所以可排除三种图案对立的情况； (2)位置判断：相邻三个面的图案位置是否一致．当前面和上面的图案确定位置后，另