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证明:取AB的中点C,作直线PC. C B P A 已知:线段AB,点P是平面内一点且PA=PB.求证:P点在AB的垂直平分线上 ∵AP=BP,PC=PC.AC=CB, ∴△APC≌△BPC(SSS). ∴∠PCA=∠PCB 又∵∠PCA+∠PCB=180°, ∴∠PCA=∠PCB=∠90°,即PC⊥AB ∴P点在AB的垂直平分线上. 线段垂直平分线的判定: 到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. A B P 用数学符号表示为: 如图, ∵PA=PB ∴点P在AB的垂直平分线上 例.已知:如图 ,在 △ABC 中,AB = AC, O 是△ABC 内一点,且OB = OC. 求证:直线 AO 垂直平分线段BC. ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线 证明:∵ AB = AC, ∴ 点 A 在_____________________. 线段 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上). 同理,点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. (两点确定一条直线). A C B O 北师大版教材 北师大版八年级数学第一章 第三节 主讲人:龙川第一实验学校 邹碧红 1.经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的___________.简称“_________”. 垂直平分线 中垂线 2.如图,A、B表示两个仓库,要在A、B一侧的河岸边建造一个码头, 使它到两个仓库的距离相等,码头应建在什么位置? A B 1.掌握并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理. 2.能运用垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题. 3.经历探索活动的过程,进一步发展推理能力、探究意识和合作交流的习惯. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离_______. 已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的任意一点. N A P B C M 证明:∵MN⊥AB, ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC,∠PCA=∠PCB, PC=PC ∴△PCA≌△PCB(SAS) ; 在△PCA与△PCB中 ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). 验证: 相等 求证:PA=PB. 性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 用数学符号语言表示为:如图, ∵MN⊥AB且AC=BC ∴PA=PB N A P B C M P是MN上的任意一点. 1. 你能写出上面这个定理的逆命题吗? 到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 2.它是真命题吗?如果是,你能证明吗? 小组讨论: 已知,线段AB,点P 是平面内一点且PA=PB, (1)过点P能作线段AB的垂线吗? 如果能,它所分成的两个三角形全等吗?那它分线段AB所成的两条线段相等吗?如果相等,能否说明这条直线就是AB的垂直平分线? (2)如果过点P作一条直线平分AB,你能说明这条直线垂直于AB吗? (3)你能证明点P在线段AB的垂直平分线上吗? 已知:线段AB,点P是平面内一点且PA=PB.求证:P点在AB的垂直平分线上. 证明:过点P作已知线段AB的 垂线PC, B P A C ∵PA=PB,PC=PC, ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL). ∴AC=BC, 即P点在AB的垂直平分线上. 北师大版教材 *
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