2020版高考数学一轮浙江专用版课件：第七章-数列和数学归纳法7.5.pptx

;;1;;1.用数学归纳法证题时，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立.因为n0∈N*，所以n0＝1.这种说法对吗？;2.数学归纳法的第一个步骤可以省略吗？;;题组二　教材改编 2.[P99B组T1]在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n－3)条时，第一步检验n等于 A.1 B.2 C.3 D.4;3.[P96A组T2]已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝___，a3＝___，a4＝___，猜想an＝_____.;题组三　易错自纠 4.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ (a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是 A.1 B.1＋a C.1＋a＋a2 D.1＋a＋a2＋a3;∴当n＝k＋1时，不等式成立. 则上述证法 A.过程全部正确 B.n＝1验证的不正确 C.归纳假设不正确 D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确;解析　运用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N*). 当n＝k时，则有1＋2＋3＋…＋2k＝2k－1＋22k－1(k∈N*)，左边表示的为2k项的和. 当n＝k＋1时，则 左边＝1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋…＋2k＋1，表示的为2k＋1项的和，增加了2k＋1－2k＝2k项.;2;;左边＝右边，所以等式成立. ②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即有;所以当n＝k＋1时，等式也成立. 由①②可知对于一切n∈N*等式都成立.;用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n0并验证当n＝n0时等式成立. (2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标. (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法.;;证明　由xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)得，xnxn＋1－4xn＋1＋2xn;用数学归纳法证明与n有关的不等式，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.;跟踪训练1　(2018·浙江台州市三区适应性考试)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2(n＝1,2,3，…).数列{bn}中，b1＝1，点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上. (1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；;(2)若Tn为数列{bn}的前n项和，求证：当n≥2，n∈N*时，2SnTn＋3n.;证明　易知Sn＝2an－2＝2n＋1－2，Tn＝n2，所以2SnTn＋3n，即2n＋2n2＋3n＋4(n≥2，n∈N*). 方法一　用数学归纳法证明如下. ①当n＝2时，因为2n＋2＝16，n2＋3n＋4＝14，所以不等式成立； ②假设当n＝k(k≥2)时，不等式成立，即2k＋2k2＋3k＋4成立， 那么当n＝k＋1时，由k≥2得k2＋k0， 所以2k＋3＝2·2k＋22(k2＋3k＋4)＝2k2＋6k＋8＝(k2＋k)＋(k2＋5k＋8)k2＋5k＋8＝(k＋1)2＋3(k＋1)＋4，所以2(k＋1)＋2(k＋1)2＋3(k＋1)＋4， 所以当n＝k＋1时，不等式成立. 综合①②可知，对任意的n≥2，n∈N*，不等式2SnTn＋3n成立. 故得证.;方法二　用二项式定理证明如下： 因为n≥2，n∈N*，所以2n＋2＝22·2n＝4(1＋1)n;;(2)如果数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N*)，是否存在实数c，使得a2nca2n－1对所有的n∈N*都成立？证明你的结论.;因为a1＝1，;所以当n＝k＋1时，结论也成立.;(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性. (2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.;跟踪训练2　设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数. (1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表达式；;下面用数学归纳法证明.;(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；;当a≤1时，φ′(x)≥0(当且仅当x＝0，a＝1时等号成立)， ∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增. 又φ(0)＝0， ∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，;当a1时，对x∈(0，a－1]，有φ′(x)≤0， ∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减， ∴φ(a－1)φ(0)＝0. 即当a1时，存在x0，使φ(x)0，;(3)设n∈N