06利用换元法解方程(组).doc

. . word完美格式 第6讲 利用换元法解方程 一、方法技巧 （一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的. （二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程. 解分式方程、无理方程、整式(高次)方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次. （三）换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径． 常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等． 例如：① ，可使用局部换元法，设 ②，变形后也可使用局部换元法，设 ③，看着很繁冗，变形整理成时，就可使用局部换元法. ④，可设，方程变成，使方程变得易解，这是均值换元法. ⑤，符合与中间项等距离的项的系数相等， 如与，与系数相等，可构造换元，是倒数换元法. ⑥，不易求解，若反过来看，把设看作已知数，把设为设，则方程就变成， 数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法. 有时根据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简，求解的目的. 例如： 观察发现，故可设，，原方程变为，方程由繁变简，可得解. （四）本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧．拓宽学生知识面，培养学生学习和研究数学的兴趣. 二、应用举例 类型一 局部换元 （高次方程） 【例题1】解方程： 【答案】，，， 【解析】 试题分析： 通过观察发现，故设，原方程变形为，可把高次方程降次，转化为可解的一元二次方程. 试题解析： 解：设，则原方程变形为， 解得，，， 由得，解得，， 由得，解得，， ∴方程的解是，，， 【难度】较易 （分式方程） 【例题2】解方程： 【答案】， 【解析】 试题分析： 括号里的分式相同，由这个特点，可以用换元法来解. 试题解析： 解：设，于是原方程变形为 解得， 当时，，解得， 当时，，解得 经检验，均为原方程的根. ∴方程的解是， 【难度】较易 【例题3】已知实数满足，那么的值是（ ） 【答案】 【解析】 试题分析： 由于 ，故设，可解. 试题解析： 解：设， 原方程化简得， ∴， 解得， 由化简得，△＜0 ，无解，舍去 ∴ 点评 ：方程中并无“相同”的部分时，可通过代数式间的关系变形构造出“相同”部分，设元. 【难度】一般 （无理方程） 【例题4】解方程： 【答案】， 【解析】 试题分析： 这是一个根号里含有分式的无理方程，也可通过换元后求解，通过变形发现， 与互为倒数，可设，则原方程变形为，无理方程化为有理方程. 试题解析： 解：设，则原方程变形为 整理得 解得， 当时，，解得 当时，，解得 经检验，都是原方程的根. 原方程的解是， 【难度】一般 【例题5】解方程 【答案】， 【解析】 试题分析： 注意到原方程可变为，可设两个未知数，利用韦达定理求解. 试题解析： 解：设，， 原方程变为 又∵ ∴，即 根据韦达定理，是方程的根 解得， ∵， ∴舍去 即或 故 或 解得， 经检验，是原方程的解 ∴ 方程的解是， 【难度】一般 类型二 均值换元 【例题6】解方程： 【答案】， 【解析】 试题分析： 观察方程可知，适合使用均值法换元，故设 可达到降次目的. 试题解析： 解：设， 原方程变为 整理得 解得（舍）， 即， 由，得 由，得 ∴原方程的解为， 点评：一般形如的方程可用均值法，设进行代换，化原方程为双二次方程求解. 【难度】较难 类型三 倒数换元 【例题7】解方程： 【答案】，, ， 【解析】 试题分析： 本题的特点是：按降幂排列后，与中间项等距离的项的系数相等，如与，与系数相等，可构造换元. 试题解析： 解：显然不是方程的解，故用除方程两边， 整理得， 设，则， 上式变为， 整理得 解得，， 由，解得， 由，解得， 点评：形如的方程称为倒数方程，其特点是，按某一字母降幂排列后，与中间项等距离的项的绝对值相等，其解法是，用除各项，构造，使原方程变为一元二次方程得解. 【难度】较难 类型四 常数换元 【例题8】解方程 【答案】，， 【解析】 试题分析： 这是三次方程，且系数中含无理数，不易求解，若反过来看，把设看作已知数，把设为设，则方程就变成关于的一元二次方程. 试题解析： 解：设 则原方程变形为 即 整理得 或 解得，， 【难度】困难 三、实战演练 类型一 局部