格林公式及其应用课件.ppt

精选 * 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积 精选 * 一、格林公式 在一元积分学中，牛顿-莱布尼茨公式 ： 表示: 在区间[a,b]上的积分可以通过它的原函数 在这个区间端点上的值来表达。 下面介绍的格林公式告诉我们，在平面闭区域D上 的二重积分可以通过沿闭区域D的边界曲线 L 上的曲 线积分来表达。 精选 * 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都 属D则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域 。通 俗的说，平面单连通区域就是不含“洞”（包括点“洞”）的 区域，复连通区域是含有“洞”（包含“洞”的区域）。 例如，平面上的圆形区域{（x,y） |1 4 } 或 2}都是复连通区域。 {（x,y）| 0 平面单连通区域的概念： 精选 * 对平面区域D的边界曲线L，我们规定L的正方向如下： 当观察者沿L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部 分总在他的左边.例如：D是边界曲线L及l 所围成的复连通 区域，作为D的正向边界，L的正向是逆时针方向，而l 的 正向是顺时针方向。 L D l 精选 * 定理1：设闭区域D由分段函数光滑的曲线L围成， 函数P(x,y)及Q(x,y)在上具有一阶连续偏导数，则有 其中L是D的取正向的边界曲线。 公式（1）叫做格林公式。 (1) 注意哦 对于复连通区域D,格林公式（1）右端应包括沿区 域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来 说都是正向。 精选 * 在公式（1）中取 P=-y，Q=x, 即得 上式的左端是闭区域 D 的两倍，因此有： 例 1 求椭圆 所围成的图形面积A 格林公式的一个简单应用： 精选 * 根据公式（1）有： 例 2 设 L 是任意一条分段光滑的闭曲线，证明 解： 精选 * 证明: 则 因此，有格林公式得 例 3 计算 其中 L 为一条无重 点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L 的方向为逆时针方向。 令 精选 * 解： 则当 时， 有 记 L 所围成的闭区域为 D .当 时由格林公 式得： 令 精选 * 当 时，选取适当的 r0 ，作为于D内的 圆周 l : 记 L 和 l 所围得闭区域为 D1 (如图)。 对复连通区域 D1 应用格林公式，得 L x y D1 l 0 精选 * 其中 l 的方向取逆时针方向，于是： 精选 * 一般来说，曲线积分的值除了与被积函数有外， 还与积分的路径有关，但在自然界中许多问题的曲线 积分是与路径无关的。如重力场、静电场中研究力问 题时遇到的曲线积分，通常属于这种情况。 设 G 是一个开区域，且 P (x,y) , Q(x,y) 在G 内具有一阶连续偏导数。如果对于 G 内任意指定的 两个点 ： 二 平面曲线积分与路径无关 精选 * 以及 G 内从点 A 到点 B 的任意两段曲线 L1，L2等式： 恒成立，则称 曲线积分 在 G 内与路径 无关，否则就称该曲线积分与路径有关，此时，从 A 到 B 的曲线积分可记为 或 精选 * 定理2 设二元函数P (x,y),Q(x,y)在单连通区域G 具有一阶连续偏导数，则在单连通区域 G 内下列条件等价： （1） （2）沿任意分段光滑的有向 （3）曲线积分 与路径无关。 闭曲线 L ，有 精选 * 满足 注意： (1) 定理中的等价关系是建立在单连通区域 内的，并且要求 P (x,y) ,Q(x,y) 在G 上具有有一阶连续偏导数，当这两个 条件之一不满足时，等价关系都可能不成立。 (2) 定理中命题(2)和(3)的等价区域可以不是单连通的。 (3) 若函数 P (x,y), Q(x,y) 满足定理2条件 精选 * 例 4 设函数 Q(x,y) 在xoy面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 与路径无关，且对任意实数 t ，恒有 求函数