数学建模时间序列分析模型.ppt

1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介 其中 取 左右。 则当 成立时， 服从自由度为 的 分布。 对给定的显著性水平 ，若 ，则拒绝 ，即模型与原随机序列之间拟合得不好， ，则认为模型与原随机序列之间拟合 需重新考虑 得较好，模型检验被通过。 建模；若 1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介 四、模型的预测 若模型经检验是合适的，也符合实际意义，可用作短期预测. B-J方法采用L步预测，即根据已知 个时刻的序列观测值 ，对未来的 个时刻的序列值做出估计， 线性最小方差预测是常用的一种方法. 误差的方差达到最小. 其主要思想是使预测 若 表示用模型做的L步平稳线性 最小方差预测，那么，预测误差 并使 达到最小. 1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介 1、AR（ ）序列预测 模型（1）： 的L步预测值为 其中 （ ） 1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介 2、MA（ ）的预测 对模型（3）： 当 时，由于 可见所有白噪声的时刻都大于 ，故与历史取值无关， ； 从而 当 时，各步预测值可写成矩阵形式： 1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介 递推时，初值 均取为0。 2 长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM 2005A】 题中给出了“1995—2004年长江流域水质报告”中的主要统计数据和关于《地表水环境质量标准》的国标（GB3838-2002）中4个主要项目标准限值（见附录1），其中I、II、III类为可饮用水.假如不采取更为有效的治理措施，根据过去10年的主要统计数据（见附录2），对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况. 2 长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM 2005A】 一、问题分析 为了分析长江水质的发展变化情况，对未来10年全流域、支流、干流中三类水所占的比例做出预测.考虑到若仅用10年水文年的观测数据来预测后10年的数据，显然可利用的数据量太少，所以我们将充分利用枯水期、丰水期和水文年的数据. 由于建立时间序列模型需要相等的时间间隔，所以我们将一年分为三段，1-4月、5-8月、9-12月. 对于每一年，1-4月的平均数据可直接取为枯水期的数据，5-8月的平均数据可直接取为丰水期的数据，而9-12月的数据可用【（水文年*12-枯水期*4-丰水期*4）/4=水文年*3-枯水期-丰水期】来估计（具体数据见附录3）.我们分别对全流域、干流、支流来建立时间序列模型，并将水质分为饮用水（I、II、III类）、污水（IV、V类）和劣V类水三类，注意到饮用水的比例可由其它两类水的比例推算出来. 2 长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM 2005A】 二、模型假设 （2）假设枯水期、丰水期和水文年中，每个月各类水质的 百分比不变. （1）问题中所给出的数据能客观反映现实情况； 2 长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM 2005A】 三、模型建立 对于各类水，根据它在各个时期所占的比例，通过作图容易观察发现，时间序列是非平稳的，而通过适当差分则会显示出平稳序列的性质，所以我们将建立自回归移动平均模型ARIMA（ ）d代表差分阶数. 在实际建模中，考虑到一期的数据应该与前期的数据有关，所以对差分后的平稳序列我们建立ARMA模型. 在这里，我们不考虑随机干扰项，即 ，因此建立AR模型 仅以预测干流中劣Ⅴ类水所占比例的 ARIMA 模型为例， 详细叙述一下 ARIMA 建模过程。 2 长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM 2005A】 1、数据筛选与处理 根据需要，我们将数据筛选并处理得到干流中劣Ⅴ类水所占 比例的时间序列： ={0，4，-4，0，1.5，-1.5，0，0，0，0，0， 0，0，0，0，0，0，0，6.9，5.1，5.4，7.9， 4.8，13.4，0，0，0，14.2，9.3，3.5}， 2、对序列平稳化 观察序列时序图，发现序列有递增趋势， 因此，我们对序 ，得到序列 列进行一阶差分 2 长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM 2005A】 {0，4，-8，4，1.5，-3，1.5，0，0，0， 0，0，0，0，0，0，0，0，6.9，-1.8，0.3， 2.5，-3.1，8.6，-13.4，0，0，14.2， -4.9，-5.8 } 劣Ⅴ类水所占比例时序图 2 长江水质污染的发展趋势预测 【CUMCM 2005A】 利用公式 计算此序列的自相关系数 可看出， 明显异于0，说明此序列短期内具有很强的相关性 因此可初步认为经1阶差分后的序列平稳，即 1阶差分后的白噪声检