矢量相关分析与场论讲义.ppt

§1 场的概念（Field）;一、场的概念 ;注 ;3、描述方法;二、数量场、矢量场的描述方法; 数量场的等值面（线）： 是由场中使u取相同数值的点所组成的曲面。;以温度场为例：;;M;矢量线在这点的切线的方向余弦和矢量线上的 成比例，从而得到矢量线应满足的微分方程; 【例1】 设点电荷q位于坐标原点，它在空间一点M(x,y,z)处所产生的电场强度矢量为 式中，q、ε均为常数， r=xi+yj+zk为M点的位置矢量。求E的矢量线方程并画出矢量线图。;图 点电荷的电场矢量线 (P27);2、方向导数 方向导数是数性函数 在一点处沿任意方向 对距离的变化率，它的数值与所取 的方向有关， 一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但 它并不是矢量。如图所示， 为场中的任意方向，M0是这个方向线上给定的一点，M为同一线上邻近的一点。 ; 为M0和M之间的距离，从M0沿 到M的增量为 若下列极限 存在，则该极限值记作 ，称之为数量场 在M0处沿 的方向导数。;例题;3、梯度 由于从一点出发，有无穷多个方向，即数量场; 梯度、方向导数与等值面; 方向导数与梯度的关系： 是等值面 上p1点法线方向单位矢量。它指向 增长的方向。 表示过p2 点的任一方向。 易见，;所以 即 ;该式表明： 即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影。 梯度的概念重要性在于，它用来表征数量场 在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。 4、 算符（哈密顿算符） 算符既具有微分性质又具有方向性质。在任意方向 上移动线元距离dl， 的增量 称为方向微;分，即 显然，任意两点 值差为; 总结：数量场梯度的性质; 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）;高度场的梯度; §3 矢量场的通量与散度 ;1、通量 一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场 方向通过 的流量是dQ，而dQ是以ds为底，以v cosθ为高的斜柱体的体积，即 称为矢量 通过面元 的通量。 对于有向曲面s，总可以 将s分成许多足够小的面元 ， 于是;通过曲面s的通量f即为每一面元通量之和 对于闭合曲面s，通量f为 ;例题;如果曲面s是闭合的，并规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是： ;（Ⅰ）;闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭 合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系;2、散度 设封闭曲面s所包围的体积为 ，则; 散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当div ，表示该点有散发通量; 直接从散度的定义出发，不难得到矢量场 在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲 面所包含体积中矢量场散度的积分。 上式称为矢量场的Gauss定理。 ;推论2 若处处散度为0，则通量为0. 推论3 若某些点（或区域）上有散度不为0或不存 在，而在其他点上都有散度为0，则穿出包围这些点（或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，为一常数。 电学上的高斯定理： 穿出任一封闭曲面S的电通量，等于其内各点电荷的代数和。 高斯定理 ; §4 矢量场的环量及旋度(Rotation) ;1. 矢量场的环量;定义;性质：l围成的面元法矢量 旋涡面的方向 矢量R ①在任意面元方向上的投影就给出该方向的环量面密度 ②方向为环量面密度最大的方向；模为最大环量面密度的值 ⑵ 旋度的定义 定义：固定矢量R为矢量A的旋度，记作 ：rot A=R ;图4 旋度及其投影 ;②涡量（或环量面密度）;③旋度 ;定义 向量场;利用环量与旋度(它可以从整体上描述场旋; ;2、旋度（没有流出的量） 旋涡源 旋度即该矢量(的平行平面分量)沿平面的大小密度(即大小/面积) 旋度不为0表示有量在该平面“逗留” 旋度是矢量；其物理意义为环量密度，可以从Stokes公式里理解 旋度为零，说明是无旋场；旋度不为零时，则说明是有旋场 ;一、无旋场;无旋场;空心球体;二、无源场;?;矢量场的Helmholtz定理 空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无源矢量场的叠加，即：;三、管形场与有势场 ;的表面, 这就得到了由;这等式说明了流体通过矢量管的任意断面的流量是 ;由定理1推得空间曲线积