北师大版初一(上)第一章：丰富的图形世界讲义(三).docxVIP

第 PAGE 4页 第一章：丰富的图形世界（三） 1.3截一个几何体 1．截面 定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面． 如图所示，阴影部分就是截面． 截面的理解 ①由前面的知识我们知道“面与面相交得到线”，而用平面去截几何体，所得的截面就是这个平面与几何体每个面相交的线所围成的图形． ②截面的形状与所截几何体有关，也与所截角度和方向有关． ③对于同一个几何体，截面的方向不同，得到的截面形状一般也不相同．同一个几何体可能有多种不同形状的截面． 【例1】下列关于截面的说法正确的是( )． A．截面是一个平面图形 B．截面的形状与所截几何体无关 C．同一个几何体，截面只有一个 D．同一个几何体，截面的形状都相同 2.正方体的截面 正方体截面的形状： 如图所示，正方体的截面的形状可以是： (1)三角形(包括等腰三角形、等边三角形和一般三角形)，如图①. (2)四边形(包括正方形、长方形、梯形等)，如图②③④. (3)五边形，如图⑤. (4)六边形，如图⑥. 正方体中不同形状的截面的截法： (1)沿竖直或水平方向截正方体，截面为正方形． (2)图①中的截面是等边三角形，与该平面平行，能截正方体三条棱的平面，都能截出等边三角形． (3)过正方体同一个面上不相邻的两个顶点和一条棱上的一点，可截出等腰三角形(如图)，且与该面平 行的能截正方体三条棱的平面，都能截出等腰三角形． (4)分别过正方体的上、下底面，且与任何棱都不平行的截面，可截出梯形． (5)只要截面与五个面相交或与六个面相交，即可截出五边形或六边形． 【例2】下列说法正确的是( )． ①正方体的截面可以是等边三角形 ②正方体不可能截出七边形 ③用一个平面截正方体，当这个平面与四个平面相交时，所得的截面一定是正方形 ④正方体的截面中边数最多的是六边形 A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 3．圆柱、圆锥、球的截面 (1)圆柱的截面 用一个平面去截一个圆柱，可得到的截面形状是长方形、圆、椭圆、椭圆的一部分． (2)圆锥的截面 用一个平面去截圆锥，可得到的截面形状是三角形、圆、椭圆及椭圆的一部分． (3)球体的截面 用一个平面去截球体，可得到的截面形状是圆． 【例3】下列几何体的截面分别是__________、________、________、________. 4．根据截面判断几何体 (1)常见几何体截面的比较 常见几何体主要是棱柱、圆柱、圆锥和球体．棱柱包括正方体、长方体、三棱柱、五棱柱、六棱柱……其中以正方体为代表．各种几何体的截面如下表： ①正方体的截面有：? 　　三角形，等腰三角形,等边三角形； ? 　　正方形，长方形，平行四边形，菱形，梯形 ? 　　五边形，六边形 ? ②圆柱的截面： ? 　　圆，椭圆，长方形，不规则图形; ? ③圆锥的截面： ? 　　圆，椭圆，等腰三角形，不规则图形 (2)根据截面判断原几何体的方法： ①截面中有曲线，则原几何体一定有曲面．例如截面形状是圆的几何体可能是圆柱、圆锥、球或圆台． ②若一个几何体的各面都是平面，则所得截面一定是多边形；若几何体有曲面，则所得截面可能是多边 形，也可能是由直线和曲线组成的图形，还可能是由曲线组成的图形． 【例4】一个几何体的一个截面是三角形，则原几何体一定不是下列图形中的( )． A．圆柱和圆锥 B．球体和圆锥 C．球体和圆柱 D．正方体和圆锥 【例5】一个几何体，用水平的面去截，所得截面都是圆，用竖直的面去截，所得截面是长方形，判断这个几何体的名称(写出一种几何体的名称即可)． 5.判断截后剩余几何体的顶点数、棱数和面数 一个棱柱，截去一部分后，剩余几何体的顶点数、棱数和面数与该图形的形状有关． 用一个平面截掉正方体的一个角，剩余部分的顶点数、棱数和面数情况： 截面过顶 点的个数 顶点数 棱数 面数 0 10 15 7 1 9 14 7 2 8 13 7 3 7 12 7 【例 6】如图所示，过长方体的一个顶点，截掉长方体的一个角，则剩余部分的顶点有__________个． 【例7】如图，用一个平面截掉正方体的一条棱，剩下的几何体有________个顶点，有________条棱， 有________个面． 6．截面的应用 把一个长方体木块锯成几段，可以看成用几个平面去截长方体，其截面的面积等于与截面平行的底面的面积．如图所示． 截面与增加的面积的关系： 分成的段数 截面数 增加的面积 2 1 2个截面的面积 3 2 4个截面的面积 4 3 6个截面的面积 5 4 8个截面的面积 n n－1 (n≥2) 2×(n－1)个 截面的面积 【例8】如图所示，一根长2米的长方体木料锯成4段，这根木料的表