高等数学知识定积分及其计算教学.ppt

;第一节 定积分及其计算 ;一.积分的概念与性质;显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积. ; 观察下列演示过程, 注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. ;解决步骤:;解决步骤 : ;3) 求和 ;2. 变速直线运动的路程 ;解决步骤:;3) 求和 ;上述两个问题的共性:;(二) 定积分的概念;取极限：当??0时, 若极限 存在(这 个极限值与区间 [a, b] 的分法及点 ?i 的取法无关 ) ， 则称函数 f(x) 在[a, b] 上可积, 并称这个极限为函数 f(x) 在区间[a,b]上的定积分，记作 , 即 ;积分上限;说明：;(三) 定积分的几何意义;例1 利用定积分的几何意义, 证明;思考;(四) 定积分的性质; 性质3 (积分区间的可加性): 对任意的点c，有 ;性质5 (积分的保序性) : 如果在区间[a,b]上, 恒有 f(x)?g(x) , 则;性质6 (积分估值定理) 如果函数 f(x)在区间 [a,b]上有最大值 M 和最小值 m , 则 ;则 f(x) 在[-1,1]上的最小值为m=1/e , 最大值为M=1，由定积分的估值性质，;性质7(积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续， 则在积分区间[a, b]上至少存在一个点x ，使下式成立: ;exit;性质8 (对称区间上奇偶函数的积分性质) 设f(x)在对称区间[-a, a]上连续， ①如果f(x)为奇函数，则 ; ②如果f(x)为偶函数，则 . ;例如 　　;exit;二. 微积分基本公式;(一)积分上限函数 ;定理5. 1. 1 如果函数 f(x) 在区间 [a, b]上连续, 则变上限积分函数 在[a, b]上可导，且它的导数是 f(x) , 即 ;;例4 计算;例4 计算;说明：;(二) 微积分基本公式(牛顿—莱布尼兹公式) ;例11 计算;例7 计算;例9 计算;例10 设 求 ;例11 计算;练一练;三.定积分的积分法;说明：;例12 计算;例12 计算;例13 计算;例15 计算;例16 计算;例17 计算;例18 设f(x)在区间[-a, a]上连续, 证明: (1)如果f(x)为奇函数, 则 ; (2)如果f(x)为偶函数, 则;例19 设函数f(x)在[0, 1]上连续, 证明: ;例20 求下列定积分:;例21 求定积分:;练一练;(二) 分部积分法;例26 求 ;例22 求 ;例23 求 ;例24 求 ;例25 求;例26 求 ;例 27 证明;解得In 的递推公式, , 继续使用递推公式知道 I1 和 I0 , 得;例28 求 ;四.广义积分;类似可定义: ;引入记号;例30 求 ;例30 求 ;例31 讨论 的敛散性. ;例32 求;例33 求;(二) 无界函数的广义积分——瑕积分;类似可定义: ;若瑕点;例34 求;例35 讨论 的敛散性 . ; 内容小结: ;观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．;观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．;观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．;观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．;观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．;观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．;观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．;观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯