初二奥数题及答案.doc

. PAGE . 初二数学奥数 1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，EF∥AB交BC于点F，EF＝EC，连结DF。 (1)试说明梯形ABCD是等腰梯形； (2)若AD＝1，BC＝3，DC＝，试判断△DCF的形状； (3)在条件(2)下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由。 2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N. （1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN. ①求证：△ABN≌△ADN； ②若∠ABC = 60°，AM = 4，求点M到AD的距离； （2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形. 3、对于点O、M，点M沿MO的方向运动到O左转弯继续运动到N，使OM＝ON，且OM⊥ON，这一过程称为M点关于O点完成一次“左转弯运动”． 正方形ABCD和点P，P点关于A左转弯运动到P1，P1关于B左转弯运动到P2，P2关于C左转弯运动到P3，P3关于D左转弯运动到P4，P4关于A左转弯运动到P5，……． （1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P1的位置； （2）连接P1A、P1B，判断 △ABP1与△ADP之间有怎样的关系？并说明理由。 图1图2(3)以D为原点、直线AD为轴建立直角坐标系，并且已知点B在第二象限，A、P两点的坐标为（0，4）、（1，1），请你推断：P4、P2009、P2010三点的坐标． 图1 图2 4、如图1和2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动.设运动时间为x秒，△QAC的面积为y. （1）如图1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，请你在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形； （2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？ （3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？ 5、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F． (1)图中有几个等腰三角形?猜想： EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由． (2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们．在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗? (3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由。 6、已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为AC上一点，且∠BDC=124°，延长BA到点E，使AE=AD,BD的延长线交CE于点F，求∠E的度数。  如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O，将一三角尺的直角顶点放在点O处，让其绕点O旋转，三角尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点E和F。通过观察或测量OE,OF的长度，你发现了什么？试说明理由。 1、解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF， ∵EF∥AB， ∴∠B=∠EFC， ∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形； （2）△DCF是等腰直角三角形， 证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF= CD， ∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形）， ∵梯形ABCD是等腰梯形， ∴CF= （BC-AD）=1， ∵DC= ， ∴由勾股定理得：DF=1， ∴△DCF是等腰直角三角形； （3）共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3-，PB=3+ 2、证明：（1）①∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠1=∠2． 又∵AN=AN， ∴△ABN≌△ADN． ②解：作MH⊥DA交DA的延长线于点H． 由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°． 在Rt△AMH中，MH=AM?sin60°=4×sin60°=2 ． ∴点M到AD的距离为2 ． ∴AH=2． ∴DH=6+2=8． （2）解：∵∠ABC=90°， ∴菱形ABCD是正方形． ∴∠CAD=45°． 下面分三种情形： （Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°． 此时，点M恰好与