复合函数解题思路.docVIP

复合函数单调性年级：高二 科目：数学 时间：4/12/2009 22:10:40 新 5823779 请问老师如何求复合函数单调性 答：同学，你好，现提供以下资料供你参考： ?? 若y是u的函数：y＝f(u)，而u又是x的函数：u＝φ(x)，且φ(x)的函数值的全部或部分在的定义域内，那末，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函数是由函数及复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u叫做中间变量。?? 注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。 一、复合函数单调性的判断： 设y＝f(x)，u＝g(x)，x∈[a，b]，u∈[m，n]都是单调函数，则y＝f[g(x)]在[a，b]上也是单调函数。 ①若是[m，n]上的增函数，则y＝f[g(x)]与定义在[a，b]上的函数u＝g(x)的单调性相同。 ②若是[m，n]上的减函数，则y＝f[g(x)]与定义在[a，b]上的函数u＝g(x)的单调性相同。 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时,则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时,则复合函数为减函数。简而言之“同为增，异为减”。 二、复合函数单调区间的求解步骤: = 1 \* GB3 ①求复合函数的定义域； = 2 \* GB3 ②把复合函数分解成若干个常见的基本函数； = 3 \* GB3 ③分别判定常见的基本函数在定义域范围内的单调性； = 4 \* GB3 ④由复合函数的增减性判断方法，写出复合函数的单调区间. 例1．求函数的单调区间 解：由，得或 令（），则 在上为减函数 而在上为减函数，在上是增函数；由“同增异减”可得，函数在上为增函数，在上为减函数。 例2 求函数的单调区间. 解：由 函数的定义域是. 令 ,则 在是增函数，而在上是减函数，在上是增函数；由“同增异减”得，函数的增区间是， 函数的减区间是. 例3 已知，试确定的单调区间. 解：令，则，得在上为增函数，在上为减函数； 由，解得或，由，解得；而函数在和上是增函数，在和上是减函数； 由复合函数求单调区间的方法得，的单调递增区间为和，的单调递减区间为和. 例4 若函数在上是减函数，试判断的单调区间。 解：原函数的定义域为 令，则，函数在上是减函数，而在上是增函数，在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数，即原函数的单调减区间为，单调增区间为. 评注：复合函数求单调区间是一个难点，我们应明确单调区间必须是定义域的子集，当求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域，再根据基本函数的单调性与“同为增，异为减”的原则判断复合函数的单调区间，在函数学习中应树立“定义域优先”的原则。另外，对初学者来说，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步。