高等代数期末卷1及答案.docVIP

PAGE 《高等代数Ⅰ》试题（第 PAGE 4页，共 NUMPAGES 4页） 班级： 班级： 学号： 姓名： 装 订 线 《高等代数》试卷（1） 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 得分 填空（共35分，每题5分） 1．设, 则 69_ .. 2．当 _2,-2 .时, 有重因式。 3. 令,是两个多项式, 且被整除, 则 0_ , _0 . 4. 行列式 23 。 5. 矩阵的积。 6. 7. 的一般解为 , 任意取值。 得分 二、（10分）令,是两个多项式。求证当且仅当。 证：必要性. 设。（1%） 令为的不可约公因式，（1%）则由知 或。(1%) 不妨设，再由得。故矛盾。(2%) 充分性. 由知存在多项式使 ,(2%) 从而,(2%) 故。(1%) 得分 三、(16分)取何值时，线性方程组 有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。 解： (5%) 当时，有唯一解：(4%) 当时，有无穷解：任意取值； 当时，有无穷解：任意取值；(3%) 当或时，无解。(4%) 得分 四、(10分)设都是非零实数，证明 证: 对n用数学归纳法。当n=1时 , , 结论成立(2%); 假设n-1时成立。则n时 = = (4%) 现由归纳假设有 == =,(3%) 故由归纳原理结论成立。(1%) 得分 五、(10分)证明在有理数域上不可约。 证: 令得(1%) 。(3%) 取素数p=2满足 且2不整除1, 4不整除2. (2%) 再据艾茵斯坦茵判别法知在有理数域上不可约，（2%） 从而在有理数域上不可约（2%） 得分 六、（9分）令为数域上秩为的矩阵，。求证：存在秩 为的矩阵和秩为的矩阵, 使得。 证: 为数域上秩为的矩阵，, 则存在可逆阵P和可逆阵Q使 .（3%） 进而令 （4%） 就得（2%） . 得分 七、（10分）设, 是矩阵, 且,可逆。求证矩阵可逆, 且求。 证: ， 故P可逆 （5%） 令有 .（1%） 进而（1%），解得（3%）