高等数学讲义(一).docVIP

PAGE PAGE 15 高等数学基础 高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz）。用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。 第1讲 函数 1.2 函数 要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。 一、常量与变量 先看几个例子： 圆的面积公式 自由活体的下落距离 在上述讨论的问题中，是常量，是变量。变量可以视为实属集合（不止一个元素）。 二、函数的定义 定义1.1 设是一个非空数集。如果有一个对应规则，使得对每一，都能对应于唯一的一个数，则此对应规则称为定义在集合上的一个函数，并把数与对应的数之间的对应关系记为 并称为该函数的自变量，为函数值或因变量，为定义域。 实数集合 称为函数的值域。 看看下面几个例子中哪些是函数： f f 是函数，且 ，， 定义域，值域，一般地。 f f 不是函数。 f f 是函数，且 ，， 定义域，值域。 f f 不是函数。 由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有轴上的点。 例1 求函数的定义域。 解 在实数范围内要使等式有意义，有 即 所以函数的定义域为。 例2 求函数的定义域。 解 在实数范围内要使第一个等式有意义，有 即 在实数范围内要使第二个等式有意义，有 或 即 或 所以函数的定义域为。 三、函数表示法 函数表示法主要有以下三种 ⒈解析法 用数学式子表示变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为解析法。例如 ⒉图形法 在平面直角坐标系中满足一定条件的曲线图形，也可以确定一个函数关系，这种表示函数的方法称为图形法。例如 表示一天内温度随时间变化的函数关系。 ⒊列表法 在实际应用中把一系列自变量值及其相对应的函数值列成表，这种表示函数的方法称为列表法。如对数函数表、三角函数表等等。 四、函数的几种属性 ⒈单调性 请看下面两个图 左边的图形表示，函数值随自变量的增加而增加，就称函数单调增加，数学上描述为：如果当任意的且时，恒有 则称函数在区间内是单调上升的或单调增加的。 右边的图形表示，函数值随自变量的增加而减少，就称函数单调减少，数学上描述为：如果当任意的且时，恒有 则称函数在区间内是单调下降的或单调减少的。 ⒉奇偶性 请看下面两个图 左边的函数图形关于轴对称，就称函数是偶函数，数学上描述为：如果函数的定义域以原点为对称，且恒满足等式，则称是偶函数。 右边的函数图形关于原点对称，就称函数是奇函数，数学上描述为：如果函数的定义域以原点为对称，且恒满足等式，则称是奇函数。 例3 判断下列函数的奇偶性： ⑴； ⑵ 解 ⑴由绝对值的性质，对任意有 由此可知是偶函数。 ⑵由对数函数的性质，对任意有 由此可知是奇函数。 判断函数的奇偶性也可以利用以下结论： 偶函数加减偶函数是偶函数 奇函数加减奇函数是奇函数 偶函数乘偶函数是偶函数 奇函数乘奇函数是偶函数 奇函数乘偶函数是奇函数 例如，是奇函数，也是奇函数。 1.3 初等函数 要了解初等函数，首先从以下开始 一、基本初等函数 我们将以下几类函数称为基本初等函数，它们是 ⒈常数函数 常数函数的图形如下 ⒉幂函数 幂函数的图形如下 ⒊指数函数 指数函数的图形如下 ⒋对数函数 对数函数的图形如下 ⒌三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正弦、余弦、和正切函数的图形分别是 ⒍反三角函数 反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反正弦、反余弦、和反正切函数的图形分别是 二、函数的复合运算 在介绍函数的复合运算之前，先介绍函数的四则运算：设，是两个函数，定义域分别为，，如果不是空集，那么在上可以得到以下函数 这里要注意，最后一个函数的定义域要在中去掉使的点。 除了函数的四则运算外，再看下面复杂一些的运算，如函数 可以看作由函数和构成的，这种构成方式就是一种新的运算。一般地，由两个函数和构成的对应规则称为和这两个函数的复合函数。 三、初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算而成，能用一个解析式表示的函数称为初等函数。 函数 不是初等函数，这类函数称为分段函数。 第2讲 极限与连续 微积分的主要研究对象是函数，它所使用的一个重要工具就是我