12无穷级数的概念与性质.ppt

第五节 函数展开成幂级数 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 一、泰勒级数 定义 如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则称幂级数 为f(x)在x0的泰勒级数. 当x0=0时，泰勒级数为: 称之为f(x)的麦克劳林级数. 定理1 (泰勒中值定理)如果函数f(x)在含点x0的区间(a,b)内，有一阶直到n 阶的连续导数，则当x取区间(a,b)内的任何值时，f(x)可以按(x?x0)的方幂展开为： 其中： 公式(3)称为函数f(x)的泰勒公式，余项(4)称为拉格朗日余项. 定理2 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内可展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x) 的泰勒公式余项Rn(x)当 时的极限为零，即： 二、函数展开成幂级数 将函数展开成x的幂级数(也称麦克劳林展开式)的基本法，其一般步骤为： 间接展开法 利用一些已知的函数展开式、幂级数运算(如四则运算、逐项求导、逐项积分)以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数. 分别令q=?x、?x2有： 将(9)、(10)式分别从0到x逐项积分，得： 知识回顾Knowledge Review * * 此时 ，比值判别法失效，用其他方法判定; 第三节　绝对收敛与条件收敛 一、交错级数及其敛散性 二、绝对收敛与条件收敛 一、交错级数及其审敛法 定义 正负项相间的级数，称为交错级数. 定理1(莱布尼兹定理)　　 则级数收敛，且其和 ， 并且其余项 的绝对值: (1)级数前项大于后项，即 (2)级数的通项趋于零，即 如果交错级数 证明:先证明前2n项的和s2n的极限存在，为此将s2n写成两种形式: 由(1)式可知{s2n}是单调增加的； 由(2)式可知s2nu1. 由单调有界数列必有极限的准则，知：当n无限增大时，s2n趋于一个极限s，并且s不大于u1，即 再证明前2n+1项的和s2n+1的极限也是s，有 二、绝对收敛与条件收敛 任意项级数：一般的级数，它的各项为又有正数，又有负数的任意实数. 定义 (1)如果级数的各项绝对值所组成的级数收敛，则称原级数绝对收敛； (2)如果级数收敛，而它的各项绝对值所组成的级数发散，则称原级数条件收敛. 定理2 如果任意项级数 的各项绝对值组成的级数 收敛，则原级数必定收敛. 解 因为 而级数 收敛， 是绝对收敛还是条件收敛． 例２ 判定级数 所以 也收敛， 故 绝对收敛． 注意： (1)由于任意项级数各项的 绝对值组成的级数是正项级数，一切判别正项级数敛散性的判别法，都可以用来判定任意项级数是否绝对收敛. 第四节 幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其敛散性 三、幂级数的运算 一、函数项级数的概念 定义 在区间I上的函数列 则由这函数列构成的表达式 称为定义在区间I上的(函数)无穷级数，简称(函数项)级数. 对于每一个确定的值 ，函数项级数(1)成为常数项级数 定义 形如 的级数，称为(x?x0)的幂级数， 均是常数，称为幂级数的系数. 称为x的幂级数，它的每一项都是x的幂函数.我们主要讨论这种类型的幂级数. 当x0=0时，(1)式变为： 二、幂级数及其敛散性 定理2　如果幂级数 的系数满足条件： 例2 求幂数 的收敛半径与收敛区间. 对于端点x=1，级数成为交错级数, 收敛. 对于端点x=1，级数成为： 三、幂级数的运算 如果幂级数 的收敛半径分别为R10和R20，则 收敛半径R等于R1和R2中较小的一个. 性质1 如果幂级数 的和函数s(x)在其收敛域I上连续. 性质2 如果幂级数 的和函数s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式 即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 性质3 幂级数 的和函数s(x)在其收敛区间(R,+R)内可导，且有逐项求导公式 即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，并且求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 第一节 无穷级数的概念与性质 一、无穷级数的概念 二、无穷级数的性质 定义1 若有一个无穷数列 u1，u2，u3，?，un，? 此无穷数列构成下列表达式 u1 + u2 + u3 + ? + un + ? (1) 称以上表达式为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为 其中第n项un叫作级数的一般项或通项. 一、无穷级数的概念 级数(1)的前n项相加得到它的前n项和，记作Sn.即： 我们以