高一春季(实验班)资料2(正、余弦定理、解斜三角形及三角形中的三角问题).docVIP

PAGE PAGE 第 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 7 页 专题二：正、余弦定理、解斜三角形及三角形中的三角问题 一、知识梳理 掌握三角形中的正弦定理、余弦定理；能利用三角公式解决一些三角形内的三角函数问题；熟练掌握斜三角形的解法，并能综合运用解斜三角形的知识解决一些应用问题。 1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，且等于外接圆的直径。即 _____________________。 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题。 （1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；（“角角边”型） （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。（从而进一步求出其它的边和角）（“边边角”型）（要注意解的情况：有可能一解，有可能两解，有可能无解） 2．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 _______________________________； ① _______________________________； ② _______________________________。 ③ 在余弦定理中，令，这时，所以。由此可知余弦定理是勾股定理的推广。 由①②③可得：_____________________________； _____________________________； _____________________________。 利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题。 （1）已知三边，求三个角；（“边边边”型） （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角。（“边角边”型） 3．解三角形还要注意以下几点： （1）解三角形时要注意利用等关系转换角，且注意角的取值范围。 （2）利用正、余弦定理进行边角互化，或统一成角的关系，或统一成边的关系，要视情况灵活掌握。 （2）熟悉正、余弦定理的常见变形： 正弦定理：； ； 余弦定理：在出现边的偶次及交叉项的齐次结构时，要联想到余弦定理。 3．三角形面积公式：______________________________。 二、能力巩固 1．若钝角三角形三内角的度数满足：一内角度数的两倍为另两内角度数的和，最大边长与最小边长之比为，则的范围是（ ） A. B. C. D. 2．在中，分别为角的对边，为的面积，且 。 （1）求角； （2）若，求的值。 3．在中，分别为角的对边，若 且。 （1）求角； （2）当时，求边长和角的大小。 4．在中，分别为角的对边，若， 且，求的面积。 5．设的内角所对的边分别为， （1）若，求的值； （2）当最小时，判断的形状。 6．已知的内角所对的边分别为，且。 （1）试确定的形状； （2）当时，求的值。 7．已知三内角所对的边分别为，且。 （1）求的大小； （2）若的面积为，求取最小值时的三角形形状。 8．如果△ABC内接于半径为的圆，且求△ABC的面积的最大值。 9．在△ABC中，若，且，边上的高为 ，求角的大小与边的长。 10．在中，若。 （1）求的大小； （2）在中，若角所对的边，试求内切圆半径的取值范围。 11．在中，三内角所对的边分别为，其中，且。 （1）求证：是直角三角形； （2）设圆过三点，点位于劣弧上，。求四边形的面积。 12．如图，凸四边形内接于半径 为的圆，。 （1）求的长； （2）求四边形的周长、面积的 最大值。 13．如图，单位圆的一个外切 四边形与圆分别相切于 ，且 （均为劣弧）。 （1）求证：是梯形； （2）求四边形及的周长。 14．已知中，，最小边为1，最大边为。 （1）求的最大值； （2）用表示的周长与面积之比，求的值域。 15．已知不是的最大内角，且，，求边长的最小值。 16．如图所示，在等边三角形中， 为中心，过的直线交于，交于 ，求的最大值和最小值。