高一(下)(一外实验班)培训资料3(两角和与差的三角函数及二倍角公式).docVIP

PAGE PAGE 第 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 11 页 专题三：两角和与差的三角函数及二倍角公式 一、两角和与差的三角函数 两角和与差的正、余弦、正切公式：（联系“和差角”与“单角”，实现角的转换！） 说明：①余弦和差角公式口诀：“、，符号要改”； 正弦和差角公式口诀：“、，符号不改”； 正切和差角公式口诀：“”。 ②正切公式成立的条件：。 如：。 ③和差角公式的正用、逆用、变用： （整体代换） 和差角公式的应用：（化简、求值、证明） （1）公式的基本应用（正用、逆用）： 例1．（1）求值： ①； ②cos800cos350+sin800sin350； ③sin1850cos1150cos50sin1150； ④cos2150sin2150； = 5 \* GB3 ⑤。 （2）求值：。 （3）已知，则 。 （4）已知锐角中，，求。 （2）公式的活用、变用： 例2．（1）求值； （2）求值； 变式：求。 （3）求值：tan650－tan350－tan650tan350； （4）求值：； （5）求值：。 （6）在斜三角形中，求证：。 变式（一）：在△ABC中，已知A、B、C角成等差数列，求tan值。 变式（二）：在△ABC中，cosA=，，求的值。 变式（三）：已知在中，，求 的值。 （3）“凑角法”： 例3．（1）已知，，； （2）已知，求； （3）已知 ，求； （4）已知且，； 变式：已知为锐角，，求的值。 练习：已知，求证：。 （5）已知：在中角、满足如下关系：，求： ①的值；②的值。 变式：已知，求的值。 （6）已知，且满足。 ①求的值；②求的值。 （4）辅助角公式及应用： 辅助角公式：（将一个角的两个三角函数化为一个角的一个三角函数有利于求值、化简） （sincos＋cossin）＝sin（＋） (1)若令＝，则＝， ∴ 或。 (2)若令＝cos，则＝sin ∴（sincos＋cossin）＝sin（＋）。 （例如：2sin＋cos＝，若令cos＝，则sin＝，∴2sin＋cos＝（sincos＋cossin）＝sin（＋）； 若令＝sin，则＝cos，∴2sin＋cos＝（coscos＋sinsin）＝cos（－）或＝cos（－）。） 看来，sin＋cos均可化为某一个角的三角函数形式，且有两种形式。 例4．（1），，比较、的大小； （2）设、满足， ，求； 变式练习：若cos2x+的一切x恒成立，求实数k的取值范围。 函数的最大值是_____________________。 （4）求函数的最大值。 变式：若。 （5）已知函数的最小值为0，求的值。 （6）已知，当时方程有两个不相等的实数根时， ①求实数的取值范围；②求方程的两实根之和。 二、二倍角公式 二倍角公式： ； ； 。 注意： （1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。 （2）二倍角公式为仅限于是的二倍的形式，其它如是的两倍，是的两倍， 是的两倍，是的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理解“二倍角”的含义，即当时，就是的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。尤其是“倍角”的意义是相对的。 （3）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式。 （4）公式，，，成立的条件是：公式成立的条件是 ，其它公式。 （5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（降角——升次，升角——降次） （升次降角公式） （降次升角公式） （1）公式的基本运用——正、逆、变用与活用求值 例1．①已知，且，求； ②值为 ； ③的值为 ；④值为 ； 变式：的值为 ； ⑤已知，那么= ， ； ⑥求值：。 例2．不查表、不按计算器求值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。 变式练习：求值：①； ②； ③； ④。 例3．（1）若，求的值。 （2）已知，求的值。 （3）已知为锐角，且，求的值。 （2）二倍角公式的化简与证明 例3．（1）设； （2）化简：； （3）已知； （4）化简。 变式练习：①化简：； ②若，化简：。 例4．（1）求证： （2）已知、为锐角，且，。