高中物理竞赛-话题10：运动模型——平抛与斜抛运动.doc

PAGE PAGE 1 话题10：运动模型——平抛和斜抛运动 将质点以和水平方向成某一角度的初速度投射出去，在不考虑空气阻力的情况下，质点的运动就是抛体运动。当时，质点在竖直线上做直线运动，可利用匀变速直线运动规律来求解；当时，质点做平抛运动，当时，质点做斜抛运动。其中平抛运动与斜抛运动的轨迹均为抛物线。这里我们讨论的抛体运动就是指平抛和斜抛运动。 一、平抛运动 平抛运动可看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体两个分运动的合成，落地时间由竖直方向分运动决定。 二、斜抛运动 斜抛运动分斜上抛和斜下抛(由初速度方向确定)两种，下面以斜上抛运动为例讨论。 1．特点： 加速度，方向竖直向下，初速度方向与水平方向成一夹角斜向上，为竖直上抛或竖直下抛，为平抛运动。 2．常见的处理方法： (1)分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的匀变速运动。 以抛出点为坐标原点，初速度的水平投影方向为轴正方向，竖直向上为轴正方向，则有 位移方程： 速度方程： 分析斜抛运动时还常用到下列结论： ．斜向上运动时间与斜向下运动时间(从最高点回到与抛出点等高位置的时间)相等，均为，斜上抛运动回到与抛出点等高位置总时间为。 ．斜上抛运动的水平射程为，故当抛射角为时水平射程最远。 C．斜上抛运动的轨迹方程为，由此方程可知，其轨迹为抛物线，该抛物线顶点为。 (2)将斜抛运动分解为沿初速度方向的匀速运动和竖直方向的自由落体两个分运动，再用矢量合成的方法求解。 (3)将斜抛运动分解为沿某一斜面(倾斜直线，与运动轨迹在同一平面内)方向和垂直于该斜面方向的两个匀变速运动，此时须将初速度和加速度都进行正交分解，再分别用运动学公式求解。 以上处理斜上抛运动的方法，也同样适用于平抛和斜下抛运动，还可进一步推广到其它恒力作用下(加速度恒定)质点做曲线运动的情形。不难看出，任何质点在恒力作用下的运动可分为两种情形： A.若加速度与初速度方向在同一直线上，则质点做匀变速直线运动， B.若加速度与初速度方向不在同一直线上，则质点做类似抛体运动，其轨迹一定是抛物线。这种运动的求解通常是分解为两个直线运动，即与斜抛处理方法类似。 三、抛体运动中的对称性 例1：从高处的一点先后平抛两个小球和，球恰好直接过竖直挡板落到水平地面上的点，球则与地面碰撞一次后也恰好越过竖直挡板，然后也落点.如图所示.设球与地面的碰撞类似光的反射，且反弹前后的速度大小相同.求竖直挡板的高度.若球与地碰次后恰好越过档板也落于点，则的高度又如何？ 解析：这是一个典型的抛体问题.在抛体中恰当地运用对称性，可得巧解. 球的落地时间，而球应为，故球的初速度应为球的倍.若球达点的时间为，则球达点的时间应为.当球达点时，球达与点等高的点，而点至与至点 由对称性可知应相等.设所需时间为，则，得.于是可以看出应为球在第一次落地前的中点时刻，故竖直高度应被分成两部分，所以挡板高. 若球与地碰次后越过档板，落于点，则球落的地时间仍为，球的落地时间应为.故若球达点的时间为，则球达点的时间应为 .球达时，球到达与之等高的点.设由至地的时间为，则由对称性可画出图. 对球在竖直方向的分运动列式，有 例2．如图所示，一小球以初速从高的墙上端水平射出，在距墙为处，有一长的竖直板与墙面平行，板的下端地高，为使小球能击中地面上的点，则为多大?已知：点与墙角点的距离，且小球在与墙和板的碰撞中能量均不损失. 解　小球与墙和板的碰撞能量不损失，故可根据镜像原理将小球在墙与板之间的运动轨迹拓展成图所示的抛物线．设小球落地前共发生次碰撞．图中虚线表示各次碰撞时墙与板的拓展位置。小球落地所需时间与水平位移分别为 ,, 若小球最后一次是与墙发生碰撞，则为偶数，取 有，故。　 小球在第次能与板相碰的条件：， 即，自然满足。为使小球以后不会与板再次发生碰撞，则必须 　，即　　　 由式、可得，即。故可取,，,，即可取值：,,,。 若小球最后一次是与板发生碰撞，则为奇数，取,有，即。　　　　 为使小球最后一次能与板发生碰撞，则必须，即。 由式、可得，即，故可取，即只能取一个值。综合情况、，可知共可取以下个值：，,,,。 四、匀加速直线运动+斜抛运动 例3：有条边长为的正方形薄板做成一个小屋，如图所示.已知水滴沿屋顶从点流到点所需的时间为从点流到点所需的时间的倍.假定水滴从点以初速为零开始流下，试求水滴从点流到点所需的时间. 解析：水滴从做匀加速直线运动，做斜下抛运动， 竖直方向的分运动是竖直下抛运动. 由图中的阴影三角形可得 设水滴从到的时间为，水滴沿的加速度为，则水滴经过距离的时间为, 上式为点末速度， 经整理，可求得水滴经所需时间加在一起，水滴经距离所需时间为. 五、抛体运动中的极值问题 例4