定积分习题期末.pptVIP

一、定积分应用的类型 几何应用 平面图形的面积 特殊立体的体积 旋转体的体积 平行截面面积为已知立体的体积 二、构造微元的基本思想及解题步骤 1. 构造微元的基本思想 　　元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、 “以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须 是无穷小量之间的代替。将局部 　　　　　　　 上所对 应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成 定积分 　　　 ． 无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。 2. 在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤： ①选取适当的坐标系； ②确定积分变量和变化范围； ③在 上求出微元解析式（积分式）。 ④把所求的量表示成定积分 三、典型例题 1. 几何应用 定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的 体积。解决这些问题的关键是确定面积元 素、体积元素。 【例1】求由 所围成图形的面积。 分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形 如图所示。 如果取 为积分变量, 则 设区间 所对应的曲边梯形面积为 则面积元 素 就是在 上以“以直代曲”所形成的矩形面积。 解：(1) 确定积分变量和积分区间： 的交点为 和 , 取 为积分变量, 则 由于曲线 和 （2）求微元：任取 如果将图形上方直线的纵坐标记为 , 将图形下方抛物线的纵坐标记为 , 那么， 就是区间 所对应的矩形的面积。因此 （3） 求定积分：所求的几何图形的面积表示为 计算上面的积分得： 【例5】设由曲线 ， 及 围成 平面图形 绕 轴, 轴旋转而成的旋转体的体积。 分析：此题为求解旋转体体积的问题，绕 轴旋转时， 取 为积分变量; 绕 轴旋转时, 取 为积分变量。 设区间 对 或对 或 所对应的曲边梯形为 是以直代曲 所形成的矩形为 则绕 轴、 轴旋转而成的旋 转体的体积微元 就是矩形 分别绕 轴、 轴 旋转而成的体积. 解: (一) 求 绕轴旋转而成的旋转体的体积 （1）确定积分变量和积分区间：绕 轴旋转如图, 旋转体体积元素 是 对应的矩形绕 轴所得的 旋转体的体积，即 （2）求微元：对 取 为积分变量,则 （3）求定积分：绕 轴旋转而成的旋转体的体积表示为 计算积分得： （1）确定积分变量和积分区间：绕 轴旋转如图, 取 为积分变量, 则 (二) 求绕 轴旋转而成的旋转体的体积 （2）求微元：对 旋转体的体积元素 是 对应的矩形绕 轴所得的旋转体体积, 即 （3）求定积分：绕 轴所得的旋转体的体积表示为 计算积分得: 【例7】 计算底面是半径为2 的圆，而垂直于底面上一条固定 直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。 分析：此题为平行截面面积为已知的立体的体积。若选择 积分变量为 , 如果能求出平面 所截立体的截面面积 那么， 所对应的体积元素为 . 建立如图所示的坐标系， 解: (1) 确定积分变量和积分区间： 则底圆方程为 取 为积分变量, 所以 （2）求微元：因为过点 的截面为等边三角形（如图）， 其边长为 高为 所以截面积为 因此, 对 所对应的体积元素为 （3） 求定积分：所求立体的体积为 1．定积分的定义： 定积分定义的四要素：分割；近似；求和；取极限 2．定积分的几何意义： 用图表示: 一、定积分的概念与性质 曲边梯形的面积 3．可积的充分条件 ① 若 在区间 上连续，则 在 上可积. ②