第3节-差商及Newton插值多项式.ppt

§3 差商及Newton插值多项式 一、差商及其性质 二、Newton 插值多项式 本节(§3 )要点 * Lagrange 插值多项式的优点是格式整齐规范，但其缺点是：当需要增加节点时，其基函数都要发生变化，需要重新计算，这在实际计算中会影响效率。下面介绍的Newton插值法会弥补这一不足。 1.差商的定义 设y=f(x)在n+1个互异点 x0 , x1 , … , xn 处的函数值为： 则称 为f(x)关于点 xi , xj 的一阶差商。 称 为f(x)关于点 xi,xj ,xk 的二阶差商。 一般地，称k-1 阶差商的一阶差商 为f(x)关于点 的 k 阶差商。 例如，已知f(x)在 的函数值为： 可以求得 2.差商的性质 性质1：k 阶差商 是由函数值 的线性组合而成，即 其中 以k=2进行证明。由 得到 由 得到 从而 由性质1立刻可得。 性质2:差商具有对称性,即k阶差商 f[x0 , x1 , … , xk-1 , xk ]中，任意调换 xi , xj 的次序，其值不变。 再由数学归纳法可证得： 性质3：若f(x)为n 次多项式，则f [x,x0]为关于x 的n-1次多项式。 证明：已知 故 类似的可以得到： 也就是说，对多项式求一次差商，次数降低一次。 由于　是　　　　　　　　的根，所以　　　　 3.差商的计算 为构造 Newton 插值多项式方便起见，计算差商时，采用列表的方式进行。 例 2.2 已知函数 y=f(x) 的如下离散数据(1,0)、(2,2)、(4,12)、 (5,20)、(6,70)，试求其各阶差商. 解：列差商表计算 0 1 70 6 20 5 12 4 2 2 四阶差商 三阶差商 二阶差商 一阶差商 y x 2 5 8 50 1 1 21 0 5 1 对于区间[a,b]内的离散点 及相应的函数值 ，计算如下差商： 可以求得： 依次类推得到： 令： 则可以将函数 f(x) 表示成： 由如上构造，容易验证 因此 Nn(x) 满足插值条件，是一个 n 次插值多项式。 并称 为n次Newton插值多项式。 如果 f(x) ≈ Nn(x),则误差为： ☆ 关于Newton插值多项式，有以下几个特点： 1　Newton插值多项式与同次Lagrange插值多项式相同，因而误差相同 　　因为Newton插值多项式与Lagrange插值多项式满足相同的插值条件，由插值多项式的存在唯一性知 因此，Newton插值多项式与Lagrange插值多项式的误差相同。这样，由 Nn(x)=Ln(x) 得到 这个表达式给出了 n+1 阶差商与 n+1 阶导数之间的关系式。 例3 已知 ，试求其如下差商 解：由差商与导数的关系式 得到 练习： 提示： 2. Newton插值多项式具有递推式 由 可知 所以，具有递推公式： 所以，具有递推公式： 由此可知：当求出n次插值多项式后，再增加一个节点时，只需要增加一项的计算即可。 　　由Newton插值多项式的结构可以看出，在构造Newton插值多项式时，必须首先计算各阶差商。 3. Newton插值多项式的计算 例4 已知f(x) 的五组数据(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、(5,116),求 N4 (x)。如果再增加一个节点(6,282),求出N5(x)，并计算 N4(1.5)、N5(1.5). 解：先由前五组数据列差商表 1 0 2 2 3 12 4 42 5 116 2 10 30 74 4 10 22 2 4 0.5 得到： 如果，再增加一点(6, 282),就在上表中增加一行计算差商。 6 282 166 46 8 1 0.1 由Newton公式的递推式得到： 得到： 练习题：已知离散数据(1,0)、(2,2)、(4，12）、(5,20) 求三次Newton插值多项式，增加一点(6,70)后， 再求出四次Newton插值多项式。 1.掌握差商及其性质，导数与差商的关系 2.掌握Newton 插值多项式的构造方法及具体结构 3.掌握Newton插值多项式的误差结果 4.编写Newton插值多项式计算程序进行实际计算 思考题： 如何实现差商表和Newton插值多项式的程序设计。 作业：2-4；2-5；2-7 关于离散数据： 构造了lagrange插值多项式： Newton插值多项式： 根据问题需要，有时还需要构造分段插值多项式，下面加以介绍 * *