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08-14江苏高考数列与函数
一 概述
以08-14近六年高考的江苏真题为背景,研究数列与函数两个部分解答题的命题特点,解题思路,解答技巧。
二 真题方法提炼
1 数列
(08)19.(1)设是各项均不为零的()项等差数列,且公差,若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列.
(i)当时,求的数值;
(ii)求的所有可能值.
(2)求证:对于给定的正整数(),存在一个各项及公差均不为零的等差数列
?,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列.
初等数论的简单应用
(09)17.(本小题满分14分)
设是公差不为零的等差数列,为其前项和,满足
(1)求数列的通项公式及前项和;
(2)试求所有的正整数,使得为数列中的项.?
简单的分离常数,整体法
(10)19.(16分)设各项均为正数的数列的前n项和为,已知,数列是公差为的等差数列.
①求数列的通项公式(用表示)
②设为实数,对满足的任意正整数,不等式都成立。求证:的最大值为
基本不等式,初等数论的简单应用
(12)20.(本小题满分16分)已知各项均为正数的两个数列和满足:.
(1)设,求证:数列是等差数列;
(2)设,且是等比数列,求和的值.
基本不等式与函数单调性的应用
(13)19.(2013江苏,19)(本小题满分16分)设{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d≠0),Sn是其前n项和.记,n∈N*,其中c为实数.
(1)若c=0,且b1,b2,b4成等比数列,证明:Snk=n2Sk(k,n∈N*);
(2)若{bn}是等差数列,证明:c=0.
待定系数法求解
(11)20、设M为部分正整数组成的集合,数列的首项,前n项和为,已知对任意整数k属于M,当nk时,都成立
(1)设M={1},,求的值;
(2)设M={3,4},求数列的通项公式
(14)20.(本小题满分16分)
设数列的前项和为.若对任意正整数,总存在正整数,使得,则称是“H数列”.
(1)若数列的前n项和(N),证明: 是“H数列”;
(2)设 是等差数列,其首项,公差.若 是“H数列”,求的值;
(3)证明:对任意的等差数列,总存在两个“H数列”和,使得
(N)成立.
2 函数
(08)20.已知函数,(为常数).函数定义为:对每个给定的实数,
(1)求对所有实数成立的充分必要条件(用表示);
(2)设是两个实数,满足,且.若,求证:函数在区间上的单调增区间的长度之和为(闭区间的长度定义为)
用到不等式的知识
利用图像进行讨论
(09)20.(本小题满分16分)
设为实数,函数.
若,求的取值范围;
求的最小值;
设函数,直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
利用图像分析求解
(10)20.(16分)设使定义在区间上的函数,其导函数为.如果存在实数和函数,其中对任意的都有0,使得,则称函数具有性质.
(1)设函数,其中为实数
①求证:函数具有性质
②求函数的单调区间
(2)已知函数具有性质,给定,,且,若||||,求的取值范围
先讨论内容较少,较易拿分的
深刻理解题目的含义,利用不等式的传递性,放缩的思想
(12)18.(本小题满分16分)已知a,b是实数,1和是函数的两个极值点.
(1)求a和b的值;
(2)设函数的导函数,求的极值点;
(3)设,其中,求函数的零点个数.
找特殊点,待定系数法求高次多项式的根
利用图像找零点
(11)19、已知a,b是实数,函数 和是的导函数,若在区间I上恒成立,则称和在区间I上单调性一致
(1)设,若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围;
(2)设且,若函数和在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最大值
找特殊点,缩小范围
(13)20.(2013江苏,20)(本小题满分16分)设函数f(x)=ln x-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数.
(1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围;
(2)若g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.
常规方法
先找较易求解的进行讨论,同时结合图像
(14)19.(本小题满分16分)
已知函数,其中e是自然对数的底数.
(1)证明:是R上的偶函数;
(2)若关于的不等式≤在上恒成立,求实数的取值范围;
(3)已知正数满足:存在,使得成立.试比较与的大小,并证明你的结论.
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