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《全等三角形》压轴题训练
(1)
1.如图,在中,,垂足分别为交于点、,则的长是( )
A. 4 B. 5 C. 1 D. 2
2.如图,在中,,以顶点为圆心,适当长为半径画弧,分别交边 于点,再分别以为圆心,大于长为半径画弧,两弧交于点,作射线交边于点,若,则的面积为( )
A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
3.如图,在中,,一条线段两点分别在线段和以点为端点且垂直于的射线上运动,要使和全等,则的长为 .
4.如图,,则的面积为 .
5. (1)观察推理:如图①,在中,,直线过点,点在直线的同侧,,垂足分别为.求证:.
(2)类比探究:如图②,在中,,将斜边绕点逆时针旋转90°至,连接,求的面积.
(3)拓展提升:如图③,在中,,点在上,且,动点从点沿射线以每秒1个单位长度的速度运动,连接,将线段绕点逆时针旋转120°得到线段.要使点恰好落在射线上,求点运动的时间.
6.【初步探索】
(1)如图①,在四边形中,. 分别是上的点,且.探究图中之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法:延长到点,使.连接.先证明,再证,可得出结论,他的结论应是 .
【灵活运用】
(2)如图②,在四边形中,. 分别是上的点,且,上述结论是否仍然成立?请说明理由.
【延伸拓展】
(3)如图③,在四边形中,.若点在的延长线上,点在的延长线上,仍然满足,请写出与的数量关系,并给出证明过程.
(2)
1.如图,在中,是边上的中线,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.如图,在锐角三角形中,是边上的高,分别以为一边,向外作正方形和,连接和与的延长线交于点,下列结论:①;②;③是的中线;④.其中正确结论的个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3.如图,是和的平分线的交点,且,垂足为,
=2. 5 cm,则与间的距离为 cm.
4.如图,在中,,点在线段上,,,垂足为与相交于点.若= 8 cm,则= cm.
5.如图,在中cm, =8 cm, 为的中点,点在线段上以3 cm/s的速度由点向点运动,同时,点在线段上由点向点以cm/s的速度运动.设运动的时间为s.
(1)求的长;(用含的代数式表示)
(2)若以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等,且和是对应角,求的值.
6.【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示:在和中, ,,然后对进行分类,可以分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【深入探究】
第一种情况:当为直角时,.
(1)如图①,在和中,,根据 ,可以知道.
第二种情况:当为钝角时,.
(2)如图②,在和中 ,,且都是钝角.求证: .
第三种情况:当为锐角时,和不一定全等.
(3)在和中,,,且都是锐角,请你用尺规在图③中作出,使和不全等.(不写作法,保留作图痕迹)
(4) 还要满足什,且都是锐角.若 ,则.
参考答案(1)
1.C 2. B
3.6或12 4. 1
5. (1)
∴
∴中
∵,
∴
∴
在和中
∴
(2)如图①,作于点,则
∵斜边绕点逆时针旋转90°至,
∴,
即
∵在中,
∴
在和中,
∴
∴
∴
(3)如图②根据题意,画出图形.
∵
∴
∵线段绕点逆时针旋转120°得到线段.
∴,
∴
∵在中,
∴
∴在中,
∴
在和中
∴
∴
∴
∴点运动的时间
6.(1)
(2)成立.
理由:延长倒点,使得,连接
∵,
∴
在和中
∴
∴,
∵
∴
在和中
∴
∴
∵
∴
(3) .
证明:在的延长线上取一点,使得,连接
∵,
∴
在和中
∴
∴,
∵
∴
∵
∴
在和中
∴
∴
∵
∴
∴
即
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