一)几何原本与几何基础.ppt

（一）几何原本与几何基础; 《几何原本》的内容涉及初等数学的各个领域，包括代数，数论，平面几何，立体几何，甚至现代极限概念的雏形，但各部分的表述大都是从图形出发的。第一卷讲直线形，包括点、线、面、角的概念，三角形，两条直线的平行与垂直，勾股定理等；第二卷讲代数恒等式，如两项和的平方，黄金分割；第三卷讨论圆、弦、切线等与圆有关的图形；第四卷是圆的内接和外切三角形，正方形，内接正多边形（5，10，15边）的作图；第五卷比例论，取材于欧多克索斯（Eudoxus）的公理法，使之适用于一切可公度和不可公度的量；第六卷将比例论应用平面图形，研究相似形；第七八九卷是初等数论，其中给出了辗转相除法， ; 证明了素数有无穷多；第十卷篇幅最大，占全书的四分之一，主要讨论无理量，可以看作是现代极限概念的雏形；第十一卷讨论空间的直线与平面；第十二卷证明了圆面积的比等于直径的平方比，球体积的比等于直径的立方比，但没有给出比例常数；第十三卷详细研究了五种正多面体。 欧几里得《几何原本》中的内容已在现代中等教育中分成了若干部分，分别归入平面几何，代数，三角，立体几何。初中平面几何的内容主要取材于《几何原本》的前六章，大致可以概括为点、线、面、角的概念，三角形，两条直线的位置关系（包括平行，垂直），四边形，圆，相似形，求图形的面积这样几个部分。 ; 在全书的开头列出的5个公设和五个公理如下。 公理适用于数学的各个领域： 等于同量的量彼此相等。 等量加等量，其和相等。 等量减等量，其差相等。 彼此能重合的物体是全等的。 整体大于部分。 ; 公设适用于几何部分： 由任意一点到任意（另）一点可作直线。 一条有限直线可以继续延长。 以任意点为心及任意距离可以画圆。 凡直角都相等。 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于而直角，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。 ; 当然，按照现代数学的公理化体系去衡量，《几何原本》的公理体系不是很完备，比如对点、??、面等原始概念的定义不甚清晰，关联，顺序，运动，连续性等方面的公理还有待补充，个别公理欠独立性。一些命题的证明基于公理4的几何直观，即：彼此能重合的物体是全等的。也就是说，一个平面图形可以不改变形状和大小从一个位置移动到另一个位置。这实际上是不加定义默认了平面的刚体运动。后者在现代数学中的严格定义是平面到自身的保持距离不变的一个映射。; 1899年数学泰斗希尔伯特Hilbert 出版了他的著作《几何基础》，并于30多年间不断地修正和精炼，于1930年出了第七版。《几何基础》一书为欧几里得几何补充了完整的公理体系，给出了点、线、面、关联、顺序、合同这些原始概念的的准确定义。 《几何基础》将公理体系分为下述五类。第一类叫做关联公理，由8个公理组成。第二类叫做顺序公理，由4个公理组成。第三类是合同公理（或全等公理），由5个公理组成。第四类中只有一个公理，即著名的平行公理：过直线外一点至多有一条直线与已知直线平行。第五类是连续公理，包括阿基米德度量公理和直线的完备性两条。 ;（二）我国平面几何课本的历史演变; 1902年清朝政府正式颁布了钦定学堂章程，于1905年下诏“立停科举，以广学校”，建立了初小5年，高小4年，中学5年的洋学制，并正式开始在中学讲授平面几何。由于日本十九世纪后半叶的明治维新运动对我国触动很大，当时所用课本大都为日本教材的中译本。数学教育逐步走上了正轨。 辛亥革命后，1912至1922年，民国政府教育部将学堂改为学校，算学改称数学，（这一称谓于三十年代在民间普及），学制改为初小4年，高小3年，中学4年，教育部审定教学用书，平面几何教材逐步开始使用一些英译本，如美国人温德华氏几何学，和我国自己编的课本，数学教育的水平已大大提高。; 1922年，民国政府教育部制定了课程纲要，学制改为小学6年，初中3年，高中3年，平面几何在初中三年级与高中一年级讲授。 高中课程为升入大学进行准备，初中纲要已包括了平面几何的基本内容。 从三十年代初直到五十年代初，我国很多初中使用3S平面几何作为教材，作者为美国的Schultz-Sevenoak-Schuyler三位姓氏以S开头的数学工作者。这本书可以看作是《几何原本》中平面几何部分的改写本，结合了中学生的接受能力，体系严谨，语言平实。二战胜利后，经过修订又出了一套新3S平面几何，由上海中学余元庆老师等人翻译，一直沿用到50年代初。 ; 1949年中华人民共和国