D9-8多元函数的极值及其求法.ppt

第八节 多元函数的极值及其求法 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值). 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义: 偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 说明: 驻点不一定是极值点, 极值点不一定是驻点. 有驻点( 0, 0 ), 但该点不是极值点. 且在该点取得极值 , 则有 存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A0 时取极大值; A0 时取极小值. 2) 当 3) 当 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 的极值. 求二阶偏导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点(?3,0) 处 不是极值; 在点(?3,2) 处 为极大值. 在点(1,2) 处 不是极值; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 , 代入上方程组得 最值问题 函数 f 在闭区域上连续 函数 f 在闭区域上可取得最值 可能取得最值的点 驻点 边界上的最值点 特别说明, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极小 值 为最小 值 (大) (大) 依据 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例３. 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 此时水箱所用材料的面积为 令 得唯一驻点 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 即当长、宽均为 高为 时, 水箱所用材料最省. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 换个角度思考例2. 分析: 设水箱长,宽,高分别为 x , y ,z m , 某厂要用铁板做一个体积为2 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 的有盖长方体水箱 则问题为求x , y , z , 水箱所用材料的面积 最小 在条件 下, 二、条件极值 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 机动 目录 上页 下页 返回 结束 拉格朗日乘数法 以二元函数为例，介绍条件极值的求法: 方法1 代入法. 求一元函数 的无条件极值问题 例如 , 转化 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法2 拉格朗日乘数法. 如方法 1 所述 , 则问题等价于一元函数 可确定函数 的极值问题, 极值点必满足 设 则 故 代入上式有 记 得 引入辅助函数 辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 分析可知： 极值点必满足 则极值点满足: 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 推广 　　拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设 解方程组 可以得到条件极值的可能点 . 例如, 求函数 下的极值. 在条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 解方程组 可以得到条件极值的可能点 . 再如, 求函数 下的极值. 在条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 解: 由题意可知 例６. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者. 解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则 它们所对应的三个三角形面积分别为 设拉氏函数 解方程组 , 得 故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 即解方程组 第二步 利用充分条件判别驻点是否为极值点 . 如对二元函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束