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主课题:因式分解(分组分解法)
教学目标:
1. 了解分组分解法的概念;
2. 掌握分组后能运用提公因式和公式法把多项式分解因式;
3. 通过因式分解的综合题的教学,提高综合运用知识的能力。
4. 渗透化归 数学思想和局部、整体的思想方法。
教学重点:
1. 在分组分解法中,提公因式法和公式法的综合运用;
2. 通过观察、分析及尝试比较,找到合理的分组方法。
教学难点:
1. 对较复杂的多项式分解因式;
2. 灵活运用已学过的因式分解的各种方法;
3. 正确地分组,熟练地掌握学过的方法,且能通过分析、预见到分组后的情况。
考点及考试要求:
教 学 内 容
【知识要点】
1. 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法;
2. 利用分组分解法分解因式的多项式特征:
(1) 多项式的项数一般大于三项;
(2) 分组后各组可利用提取公因式法、公式法或十字相乘法进行分解;
(3) 各组分解后,整个式子又可继续进行因式分解。
【方法归纳】
常见的分组方法有:
(1) “2+2”型:分为两组,每组两项,每组先提公因式,再总体提公因式,如;
(2) “3-1”型:“3”是可用完全平方公式的三项式,整体是平方差公式,如;
(3) “3+2”型:“3”是可用完全平方公式的三项式,“2”是可以提取公因式的二项式,总体可以提取公因式,如;
(4) “2+2+2”或“3+3”型,如,;
(5) “3+2+1”型,如.
一、复习引入
1. 分解因式:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
通过练习,回顾已学的因式分解方法。
2. 多项式能因式分解吗?怎样分解?
观察多项式,启发分析如下:
(1) 它的各项无因式,不能用提取公因式法分解;
(2) 这是一个四项式,也不能直接用公式法或十字相乘法分解;
(3) 仔细观察多项式的各项,发现:
前两项有公因式,后两项有公因式,
分别提取公因式后整个多项式有了公因式,于是可再提取公因式分解因式。
=.
指出:这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
一般地,项数超过三项的多项式,若无公因式,则应思考用分组分解.
上例的模式为两两分组提因式,即“2+2”型。
二、讲解例题,应用新知
1. 例1 分解因式:.
分析:若按第1、2项一组,第3、4项一组分组,则第1、2项这组提取公因式后,全式出现了公因式。
解: ____________.
强调:分组的目的是为了构造全式的公因式,以分解全式。
思考1:例1能否按第1、3项一组,第2、4项一组来分组分解?还有其它分组的方法吗?
分析:
如图,两两分组,确定了一组的同时,也就确定了另一组。
解:能按第1、3项一组,第2、4项一组来分组分解:
=_____________.
能按第1、4项一组,第2、3项一组来分组分解,但要用立方差公式:
=__________________=_______________.
强调:分组的方法不一定唯一,只要能构造出分解全式的条件即可。
思考2:引例还有其它分组的方法吗?
解:能按第1、3项一组,第2、4项一组来分组分解:
=_____________.
不能按第1、4项一组,第2、3项一组来分组分解:
?
2. 例2 分解因式:.
分析:先作两两分组尝试得知:此时,不管怎样分组,分组后都不能用提取公因式分解因式。注意到前三项是一个完全平方式,能分解成,这样全式可用平方差公式分解因式。
解:=___________=_____________
.
本例的模式为一三分组用(平方差)公式,即“3-1”型。
3. 例3 分解因式:
(1) ;
(2) .
分析:这两个多项式均大于四项,不能按前面的方法分解因式。观察它们的特点,发现前三项是可用完全平方公式的三项式,后面两项是可以提取公因式的二项式,这时多项式(1)总体可以提取公因式,多项式(2)可将x+y看作一整体,可继续运用十字相乘法分解因式。
解:(1) =______________
=_________________;
(2) =______________
=__________________.
本例(1)的模式为“3+2”型;(2)的模式为“3+2+1”型。
4. 例4 把a4b+2a3b2-a2b-2ab2分解因式.
问:观察这个多项式有什么特点?是否可以直接运用分组法进行因式分解?
分析:这个多项式的各项都有公式因ab,可以先提取这个公因式,再设法运用分组法继续分解因式。
解: a4b+2a3b2-a2b-2ab2=ab(___________)
= ab[(_________)-(
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