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08年高考数学江西卷(理)最后一题有点难
22.(本小题满分14分)
已知函数f(x)=++,x∈(0,+∞).
(1)当a=8时,求f(x)的单调区间;
(2)对任意正数a,证明:l<f(x)<2.
令,则第(2)等价于:若a,b,c0,abc=8求证:
上式不等式(1)与2004年西部奥林匹克最后一题:
设a,b,c是正数,求证:
类似,且证明比这道西部奥林匹克题还难。而这道西部奥林匹克题当年参赛选手无一人完全证出。
另外,2003年中国数学奥林匹克第三题:
给定正数n,求最小正数λ,使得对于任何 ,就有不大于λ
答案:当n≥3,λ=n-1
当n=3时,令即得(1)右边的等式。
江西的宋庆老师说:今天阅卷结束。该题第2小题无人挨边;14分的题全省9分一人,8分二人。 由此可知,(2)右边的不等式,江西的考生无人证出,基本上属于废题。所以第(2)小题不宜作高考题。
此题也引起了张景中院士的兴趣,在 “张景中院士解江西高考压轴题”一贴中
命题人陶平生教授的证明:其中对右边不等式的证明思路基本上取自于前面提到的2003年中国数学奥林匹克第三题黄玉民教授解答。
22.解:、当时,,求得 ,
于是当时,;而当 时,.
即在中单调递增,而在中单调递减.
(2).对任意给定的,,由,
若令 ,则 … ① ,而 … ②
(一)、先证;因为,,,
又由 ,得 .所以
.
(二)、再证;由①、②式中关于的对称性,不妨设.则
(ⅰ)、当,则,所以,因为 ,
,此时.
(ⅱ)、当 …③,由①得 ,,,
因为 所以 … ④
同理得 …⑤ ,于是 … ⑥
今证明 …⑦, 因为 ,
只要证,即 ,即 ,据③,此为显然.
因此⑦得证.故由⑥得 .综上所述,对任何正数,皆有.
说句实在话,该题命题人陶平生教授所给出的证明是最好的。问题只是这道好题在不恰当的时间出现在不恰当的地方。
平心而论,不等式做到这个分上,可以说达到了一个佳境。
2008-07-12 21:03 scpajmb 的发言:
确实,陶平生教授是不等式高手,所命那道2005年全国联赛加试第二题,大家还记忆犹新。当然,宋老师也是不等式高手。我的这个证明不是最简单的,发到这里供参考。
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