空气污染研究的主成分分析.docVIP

. . 空气污染研究的主成分分析 一、提出问题 本文对于给定的某城市42天中午12点的空气污染数据进行主成分分析，主要解决以下几个问题： 分别用样本协方差矩阵和样本相关矩阵作主成分分析，对比二者的结果差异； 对原始数据的变化选取三个或者更少的主成分反映，并对所选的主成分做出解释。 二、分析问题 主成分分析旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。在实际问题研究中，为了系统、全面地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。因为每个因素都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间有一定的相关性，因而所得到的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。本文中所研究的问题变量较多，因此利用主成分分析法研究本问题，减少计算量和降低分析问题的复杂性。 针对问题一，首先将数据标准化，计算样本协方差矩阵和相关矩阵，然后分别计算样本协方差矩阵和相关矩阵的特征值和特征向量，贡献率和累计贡献率，确定选取成分个数，列出主成分方程并解释主成分意义。 针对问题二，考虑主成分的贡献率，只要主成分的累计贡献率达到80%，就可以反映原始数据的变化，并且对所选取的主成分做出解释。 三、模型假设 1、影响污染程度的变量只有本文中所提到的变量； 2、随机选取的42天； 3、题目中所提到的城市是平衡发展，政府对环境治理干预较小，即此城市的环境不会出现强烈波动； 4、题目中所给的污染浓度及气象参数有效，数据都准确可靠，同时不考虑人为因素、检测仪器精确度不同等影响。 四、符号说明 符号 符号含义 样本方差 原始变量 样本主成分 样本协方差 样本相关矩阵 样本平均值 协方差矩阵 特征向量矩阵 矩阵的特征值 矩阵的特征向量 Ω 信息提取率 五、问题求解 5.1协方差矩阵主成分分析 设是的协方差矩阵，的特征值与正交化特征向量分别为及，且的第个主成分为 (1) 根据已有数据计算得样本的均值向量为 根据协方差矩阵计算公式 (2) 代入数据可求得随机变量相应的样本协方差矩阵为 利用特征值计算公式代入数据可求得的特征值与对应单位正交化特征向量分别为 ， , , , , , , 利用第个主成分的贡献率 (3) 及前个主成分的累计贡献率 (4) 代入数据计算得的各标准化主成分的贡献率及累计贡献率（如表1所示），可以看出，前三个标准化样本的累计贡献率已经达到98.6968%，故只需提取前三个主成分即可： 表1 的各标准化主成分的贡献率及累计贡献率 贡献率(%) 累计贡献率（%） 1 304.2579 87.2948 87.2948 2 28.2761 8.1127 95.4075 3 11.4645 3.2893 98.6968 4 2.5243 0.7242 99.4210 5 1.2795 0.3671 99.7881 6 0.5287 0.1517 99.9398 7 0.2096 0.0601 100.0000 记主成分向量为 由 , 知的前三个主成分分别为 因此，用前三个主成分代替原来7个变量，信息损失量较小。 进一步由与的相关系数 (5) 计算出前三个主成分与各原始变量的相关系数如下表： 主成分相 主 成 分 相 关 系 数 原 变 量 0.1087 0.2576 -0.0672 -0.9994 0.0357 -0.0014 -0.1937 -0.4181 0.4675 0.0740 0.0626 0.4111 -0.1274 -0.2369 0.9585 -0.3521 -0.9299 -0.1041 -0.0613 -0.1824 0.4168 由表可看出，与相关度较高，而由相关矩阵的主成分权重系数（即特征向量中的各个值）知，太阳辐射对空气污染的影响最大；与相关度较高，由相关矩阵的主成分权重系数（即特征向量中的各个值）知，对空气污染的影响较大；与相关度较高，同理，由相关矩阵的主成分权重系数（即特征向量中的各个值）知，对空气污染的影响较大。考虑前三个主成分的贡献率依次降低，得出结论：影响空气污染的最重要因素为太阳辐射。由于的方差较大，第一主成分主要由变量控制，所以所得结论与实际不符。 5.2样本相关矩阵主成分分析 利用标准化公式对原数据进行标准化处理得到一组新的数据： 即令 　 (6) 其中为的平均值，为的方差。 此时，由于的协方差矩阵即为的相关矩阵其中 (7) 为的协方差。 代入数