2016年全国高中数学联赛B卷试题及答案.doc

PAGE 3 2016年全国高中数学联赛（B卷）试题及答案 一试 一、选择题：（每小题8分，共64分） 1.等比数列的各项均为正数，且则的值为 ． 答案：6． 解：由于且故 另解：设等比数列的公比为，则又因 而，从而 2.设，则平面点集的面积为 ． 答案：7． 解：点集如图中阴影部分所示，其面积为 3.已知复数满足（表示的共轭复数），则的所有可能值的积为 ． 答案：3． 解：设由知， 比较虚、实部得又由知，从而有 即，进而 于是，满足条件的复数的积为 4.已知均为定义在上的函数，的图像关于直线对称，的图像关于点中心对称，且，则的值为 ． 答案：2016. 解：由条件知 ① ② 由图像的对称性，可得结合①知， ③ 由②、③解得从而 另解：因为 ， ① 所以 ② 因为的图像关于直线对称，所以 ③ 又因为的图像关于点中心对称，所以函数是奇函数，，，从而 ④ 将③、④代入①，再移项，得 ⑤ 在⑤式中令，得 ⑥ 由②、⑥解得于是 5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ． 解：样本空间中有个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为 过所求的概率为 6.在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为则直线的方程为 ． 答案： 解：的标准方程分别为 由于两圆关于直线对称，所以它们的半径相等．因此解得故的圆心分别是直线就是线段的垂直平分线，它通过的中点，由此可得直线的方程是 7.已知正四棱锥-的高等于长度的一半，是侧棱的中点，是侧棱上点，满足，则异面直线所成角的余弦值为 ． 解：如图，以底面的中心为坐标原点，的方向为轴的正向， 建立空间直角坐标系．不妨设此时高从而 由条件知，因此 设异面直线所成的角为，则 8.设正整数满足，且．这样的的个数为 ．这里，其中表示不超过的最大整数． 解：由于对任意整数，有 等号成立的充分必要条件是，结合知，满足条件的所有正整数为共有个． 另解：首先注意到，若为正整数，则对任意整数，若，则这是因为，当时，，这里是一个整数，故 因此，当整数满足时， 容易验证，当正整数满足时，只有当时，等式才成立．而，故当时，满足正整数的个数为 二、解答题：（共3小题，共56分） 9.（16分）已知是各项均为正数的等比数列，且是方程 的两个不同的解，求的值． 解 对，有即 因此，是一元二次方程的两个不同实根，从而 即 由等比数列的性质知， 10.（20分）在中，已知 （1）将的长分别记为，证明：； （2）求的最小值． 解 （1）由数量积的定义及余弦定理知， 同理得，故已知条件化为 即 （2）由余弦定理及基本不等式，得 等号成立当且仅当因此的最小值为 11.（20分）在平面直角坐标系中，双曲线的方程为．求符合以下要求的所有大于的实数：过点任意作两条互相垂直的直线与，若与双曲线交于两点，与交于两点，则总有成立． 解 过点作两条互相垂直的直线与 易知，与交于点（注意这里），与交于点由条件知，解得 这意味着符合条件的只可能为 下面验证符合条件． 事实上，当中有某条直线斜率不存在时，则可设，就是前面所讨论的的情况，这时有若的斜率都存在，不妨设 注意这里（否则将与的渐近线平行，从而与只有一个交点）． 联立与的方程知，即 这是一个二次方程式，其判别式为．故与有两个不同的交点．同样，与也有两个不同的交点由弦长公式知， 用代替，同理可得于是 综上所述，为符合条件的值． 加试 一、（40分）非负实数和实数满足： （1）； （2）是奇数． 求的最小值． 解：由已知条件（1）可得：于是（注意） ① 不妨设则 若，并且令 则于是 由条件（2）知，是奇数，所以是奇数，这与矛盾． 因此必有，或者则 于是结合①得 又当时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以的最小值为1． 二、（40分）设是正整数，且是奇数．已知的不超过的正约数的个数为奇数，证明：有一个约数，满足 证明：记，，则的不超过的正约数的集合是 若结论不成立，我们证明 对，因为是奇数，故，又，而没有在区间中的约数，故，即，故 反过来，对，设，则，是奇数，又，故从而 所以故的不超过的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立． 三、（50分）如图所示，是平行四边形，是的重心，点在直线上，使得证明：平分 解：连接，与交于点由平行四边形的性质，点是的中点．因此， 点在线段上． 由于，所以四点共圆，并且其外接圆是以为直径的圆．由相交弦定理知 ① 取的中点注意到故有 因此关于点对称．于