行列式习题课.PPT

评注 思考题 求第一行各元素的代数余子式之和 解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成 7 特殊类型行列式计算---- 例10 箭形行列式 例11 例12 8　其它方法（如利用范德蒙行列式计算） 例 13　计算 　　利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。 解 上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知 评注　本题所给行列式各行（列）都是某元素的 不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列 式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取 公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式 化成范德蒙行列式． 计算（证明）行列式方法 1 用定义计算（证明） 2　用行列式性质化为三角形行列式 3 用降阶法计算 4 用拆成行列式之和（积）计算 5 用递推关系式法 6 用数学归纳法 7 其它（利用已有行列式如范德蒙行 列式等） １　用定义计算（证明） 例1　用行列式定义计算 解 评注　本例是从一般项入手，将行标按标准顺序 排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每 一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法． 2　用行列式性质化为三角形行列式来计算 例2　计算 解 提取第一列的公因子，得 例 3 　　评注　本题利用行列式的性质，采用“化零” 的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式． 化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多 的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零 的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数 化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则 应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到 化为三角形行列式之目的． 3　用降阶法计算 例4　计算 解 评注　本题是利用行列式的性质将所给行列式的 某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此 行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降 低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算 出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种方法 对阶数不高的数字行列式比较适用． 4　用拆成行列式之和（积）计算 证明 例 5 (按列拆开) 左边 =右边 4　用拆成行列式之和（积）计算 例6　证明 证 解 例7 5　用递推法计算 (1) (2) (n-1) 例８　计算 解 由此递推，得 如此继续下去，可得 评注 6　用数学归纳法 例９　证明 证 对阶数n用数学归纳法