初中几何定理的证明.doc

七年级下册 几何定理的证明 2.定理：三角形的内角和是180° 已知：如图，在ΔABC中，∠A、∠B、∠C是它的三个内角。 求证：∠A+∠B+∠C=180° 方法一：证明：过点A作AC’∥BC 方法二：延长BC，过点C作CD∥AB，同样利用平行线的性质来证明。 3.定理：n边形的内角和等于（n-2）·180° 证明思路：如下图，将多边形分割成若干个三角形，利用三角形的内角和定理来求。 4.定理：三角形的外角和等于360° 已知：如图，在ΔABC中，∠α、∠β、∠γ是它的三个外角。 求证：∠α+∠β+∠γ=360° 证明： 5.定理：多边形的外角和等于360° 证明思路和三角形外角和思路一样。 八年级上册 几何定理的证明 6.定理：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等。 已知：如图，线段AB的垂直平分线l交AB于点O，点P在l上. 求证：PA=PB 证明： ∵l┴AB， ∴∠AOP=∠BOP=90° ∵l平分AB ∴AO=BO 又OP=OP,∠AOP=∠BOP=90° ∴ΔAOP全等于ΔBOP ∴PA=PB 7.定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 已知：如图，PA=PB. 求证：点P在AB的垂直平分线上. 方法一： 证明：过点P作PO┴AB于O ∵PO┴AB， ∴∠AOP=∠BOP=90° ∴ΔAOP、ΔBOP都是直角三角形. ∵PA=PB，OP=OP ∴RtΔAOP全等于RtΔBOP ∴AO=BO 又∵PO┴AB ∴PO垂直平分AB 即点P在AB的垂直平分线上. 方法二： 证明：取AB的中点O，连接PO ∵PA=PB，OP=OP，AO=BO ∴ΔAOP全等于ΔBOP ∴∠AOP=∠BOP 又∠AOP+∠BOP=180° ∴∠AOP=∠BOP=90° ∴PO┴AB， 又AO=BO ∴PO垂直平分AB 即点P在AB的垂直平分线上. 8.定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 已知：如图，点Q是∠AOB角平分线OQ上的点，QC┴OA于C QD┴OB于D， 求证：QC=QD. 证明： ∵QC┴OA，QD┴OB， ∴∠OQD=∠OQC=90°, ∵OQ平分∠AOB, ∴∠QOD=∠QOC 又OQ=OQ ∴ΔOQD全等于ΔOQC ∴QC=QD 9.定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 已知：如图，点Q是∠AOB内的点，QC┴OA于C QD┴OB于D，且QC=QD 求证：Q在∠AOB角平分线上. 证明： ∵QC┴OA，QD┴OB， ∴∠OQD=∠OQC=90°, ∴ΔOQD、ΔOQC都是直角三角形. ∵QC=QD，OQ=OQ ∴RtΔOQD全等于RtΔOQC ∴∠QOD=∠QOC ∴OQ平分∠AOB 即Q在∠AOB角平分线上. 10.定理：等腰三角形的两个底角相等. 11.定理：等腰三角形地边上的高线、中线、顶角的平分线重合。 证明思路如下： 12.定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形 已知：如图在ΔABC中，∠B=∠C 求证：ΔABC是等腰三角形 证明思路： 13.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 已知：CD是RtΔABC斜边AB上的中线。 求证：CD=AB 方法一： 证明思路：延长CD到E，使DE=CD，得AB、CE互相平分，又∠ACB=90°，所以得矩形ACBE,所以CE=AB.因为CD=CE，所以CE=AB 方法二： 14.定理：斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等 证明思路： 15.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 方法一： 证明思路： 方法二：思路如下： 方法三：思路如下 方法四：思路如下 16.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 已知：如图，在ΔABC中，a2+b2=c2 求证：ΔABC是直角三角形 证明思路： 八年级下册 几何定理的证明 17.定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。 证明思路：1.连接AC，证明ΔABC与ΔCDA全等，得出平行四边形对边相等 2.连接AC，证明ΔABC与ΔCDA全等，得出∠B=∠D，再利用AD∥BC，同旁内角互补及等角的补角相等，得出平行四边形对角相等 3.连接AC、BD，证明ΔAOB与ΔCOD全等，得出平行四边形对角线互相平分。 18.定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 19.定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 20.定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形 思考：对角相等的四边形是平行四边形吗？（是的，通过四边形内角和及同旁内角互补两直线平行来证明） 思考：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形吗？（是的，利用两