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1.如图,已知一个三角形纸片,边的长为8,边上的高为,和都为锐角,为一动点(点与点不重合),过点作,交于点,在中,设的长为,上的高为.
(1)请你用含的代数式表示.
(2)将沿折叠,使落在四边形所在平面,设点落在平面的点为,与四边形重叠部分的面积为,当为何值时,最大,最大值为多少?
【答案】解:(1)
(2)的边上的高为,
当点落在四边形内或边上时,=(0)
当落在四边形外时,如下图,
设的边上的高为,则
所
MNCBEFAA1
M
N
C
B
E
F
A
A1
当时,,取,
当时,最大,
2.如图,抛物线经过三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
【答案】解:(1)该抛物线过点,可设该抛物线的解析式为.
将,代入,
得解得此抛物线的解析式为.
(2)存在.
如图,设点的横坐标为,则点的纵坐标为,
当时,,.
又,①当时,,
即.解得(舍去),.
②当时,,即.
解得,(均不合题意,舍去)当时,.
类似地可求出当时,.
当时,.综上所述,符合条件的点为或或.
3.如图,已知直线与直线相交于点分别交轴于两点.矩形的顶点分别在直线上,顶点都在轴上,且点与点重合.
(1)求的面积;
(2)求矩形的边与的长;
(3)若矩形从原点出发,沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为秒,矩形与重叠部分的面积为,求关于的函数关系式,并写出相应的的取值范围.
A
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
(G)
【答案】(1)解:由得点坐标为
由得点坐标为∴
由解得∴点的坐标为∴
(2)解:∵点在上且 ∴点坐标为
又∵点在上且∴点坐标为 ∴
(3)解法一:当时,如图1,矩形与重叠部分为五边形(时,为四边形).过作于,则
A
A
D
B
E
O
R
F
x
y
y
M
(图3)
G
C
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
G
(图1)
R
M
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
G
(图2)
R
M
∴即∴
∴即
当时,如图2,为梯形面积,∵G(8-t,0)∴GR=,
∴
当时,如图3,为三角形面积,
4.如图,矩形中,厘米,厘米().动点同时从点出发,分别沿,运动,速度是厘米/秒.过作直线垂直于,分别交,于.当点到达终点时,点也随之停止运动.设运动时间为秒.
(1)若厘米,秒,则______厘米;
(2)若厘米,求时间,使,并求出它们的相似比;
(3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形与梯形的面积相等,求的取值范围;
DQCPNBMADQCP
D
Q
C
P
N
B
M
A
D
Q
C
P
N
B
M
A
【答案】解: (1),
(2),使,相似比为
(3),
,即,
当梯形与梯形的面积相等,即
化简得,
,,则,
(4)时梯形与梯形的面积相等
梯形的面积与梯形的面积相等即可,则
,把代入,解之得,所以.
所以,存在,当时梯形与梯形的面积、梯形的面积相等.
5.如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:
(1)当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由;
(2)设△BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;
(3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ?
【答案】 解:(1)△BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ是等边三角形.
(2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t·sin600=t,由AP=t,得PB=6-t,
所以S△BPQ=×BP×QE=(6-t)×t=-t2+3t;
(3)因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600,∠RQC=∠B=600,又因为∠C=600,
所以△QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ·cos600=×2t=t,
所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形,
所以PR=EQ=t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR~△PRQ,
所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=,即,所以t=,所以当t=时, △APR~△PRQ
6.在直角梯形OABC中
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