相似三角形动点问题分类讨论问题(培优及标准答案).docVIP

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PAGE PAGE 7 1.如图,已知一个三角形纸片,边的长为8,边上的高为,和都为锐角,为一动点(点与点不重合),过点作,交于点,在中,设的长为,上的高为. (1)请你用含的代数式表示. (2)将沿折叠,使落在四边形所在平面,设点落在平面的点为,与四边形重叠部分的面积为,当为何值时,最大,最大值为多少? 【答案】解:(1) (2)的边上的高为, 当点落在四边形内或边上时,=(0) 当落在四边形外时,如下图, 设的边上的高为,则 所 MNCBEFAA1 M N C B E F A A1 当时,,取, 当时,最大, 2.如图,抛物线经过三点. (1)求出抛物线的解析式; (2)P是抛物线上一动点,过P作轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由; 【答案】解:(1)该抛物线过点,可设该抛物线的解析式为. 将,代入, 得解得此抛物线的解析式为. (2)存在. 如图,设点的横坐标为,则点的纵坐标为, 当时,,. 又,①当时,, 即.解得(舍去),. ②当时,,即. 解得,(均不合题意,舍去)当时,. 类似地可求出当时,. 当时,.综上所述,符合条件的点为或或. 3.如图,已知直线与直线相交于点分别交轴于两点.矩形的顶点分别在直线上,顶点都在轴上,且点与点重合. (1)求的面积; (2)求矩形的边与的长; (3)若矩形从原点出发,沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为秒,矩形与重叠部分的面积为,求关于的函数关系式,并写出相应的的取值范围. A A D B E O C F x y y (G) 【答案】(1)解:由得点坐标为 由得点坐标为∴ 由解得∴点的坐标为∴ (2)解:∵点在上且 ∴点坐标为 又∵点在上且∴点坐标为 ∴ (3)解法一:当时,如图1,矩形与重叠部分为五边形(时,为四边形).过作于,则 A A D B E O R F x y y M (图3) G C A D B E O C F x y y G (图1) R M A D B E O C F x y y G (图2) R M ∴即∴ ∴即 当时,如图2,为梯形面积,∵G(8-t,0)∴GR=, ∴ 当时,如图3,为三角形面积, 4.如图,矩形中,厘米,厘米().动点同时从点出发,分别沿,运动,速度是厘米/秒.过作直线垂直于,分别交,于.当点到达终点时,点也随之停止运动.设运动时间为秒. (1)若厘米,秒,则______厘米; (2)若厘米,求时间,使,并求出它们的相似比; (3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形与梯形的面积相等,求的取值范围; DQCPNBMADQCP D Q C P N B M A D Q C P N B M A 【答案】解: (1), (2),使,相似比为 (3), ,即, 当梯形与梯形的面积相等,即 化简得, ,,则, (4)时梯形与梯形的面积相等 梯形的面积与梯形的面积相等即可,则 ,把代入,解之得,所以. 所以,存在,当时梯形与梯形的面积、梯形的面积相等. 5.如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题: (1)当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由; (2)设△BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式; (3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ? 【答案】 解:(1)△BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ是等边三角形. (2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t·sin600=t,由AP=t,得PB=6-t, 所以S△BPQ=×BP×QE=(6-t)×t=-t2+3t; (3)因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600,∠RQC=∠B=600,又因为∠C=600, 所以△QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ·cos600=×2t=t, 所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形, 所以PR=EQ=t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR~△PRQ, 所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=,即,所以t=,所以当t=时, △APR~△PRQ 6.在直角梯形OABC中

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