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偶完全数的性质 1999年第2期(福建师大福清分校gt; 总第43期JOURNAlOFFUQINGBRANCHOFFUJIANNORMALUNIVERSITYSumNo.43 偶完全数的性质 纪岗 摘要本文主要介绍偶完全数的性质并加以证明,同时也介绍与偶完全数有关的概念和结 论. 关键词偶完全数;麦森素数;正约数 一 ,引言 本文主要讨论偶完全数的一些性质.在此之前,把有关概念和本文涉及到的已有的部分结 论介绍如下: 定义1:若一个正整数等于它的所有不等于自身的正约数之和,则称该正整数为完全数. 定义2:设P∈N,形如2p一1的素数叫做麦森素数.记作M=2p一1. 1 定义3:设∈N,形如(+1)的正整数叫做三角形数. 定义4函数s()=d(dgt;0)表示正整数的所有正约数之和. 定义5:若S()gt;271,则称71是过剩数. 若S()lt;2,则称是不足数. 定义6:函数丁(71)表示正整数的各正约数的个数. 定义7:函数()表示不超过正整数且与互素的正整数的个数. 定义8:若一个完全数是偶数,则称它为偶完全数.若一个完全数是奇数.则称它是奇完全数. 定义9:设正整数71=amal…alao.记的数码之和为Sl().那么Sl():a.+am-l+ … +al+a0=1.记Sl(1)=712,…,一般地Sl(—1)=n,k=2,≥,…,若对某个t∈N 有1≤71t≤9,则称71,为71的数字根. 引理1[]若M.=2p一1为麦森素数,则P必为素数. 引理2]若a三6(roodK)=1,2,则有al+a2三6l十b2(roodK)ala2三6lb2(modK) 其中n,b,K∈Z,=1,2. 弓I理3(a+b)=aM+6三6(moda)其中a,b,,M∈Z. 引理4设的数字根为1∞三1(mod9). 证明:设amal—l…alaoam×10+…+10al+a0. 习么Sl()=a.+a,一l+…+al+ao. . . 一 Sl()=一l =nl×10+…+lOal+ao一(a+…+al+ao) ,收稿日期:1998—11—06 ? 47? =a.(10一1)+…+a1(10—1). . 9{(10一】),k=1,2,…,. . . 9I(一1)即三l(mod9). 同理l兰2(mod9),…,f—l兰f(mod9) 即兰(mod9)(*) 从而 定义9 ,2的数字根为9甘,兰1(mod9) (?) 甘兰1(mod9) 引理5∑()=(gt;0).I 女1 引理6()=Ⅱ(1一),其中=t..?l.为的标准分解式. i=1l 定理1(欧几里德)若2一1是一个素数,则20(2一1)是一个偶完全数. 定理2(欧拉)每一个偶完全数,必定形如20(2一1)且2一1是素数. 二,性质及其证明 性质1:设为正整数,那么为完全数筒S()=2. 定义1 证明;为完全数目的全部不等于自身的正约数之和为甘的全部正约数之和为+= 定义4 2甘S()=2. 性质2:麦森素数与偶完全数之间一一对应. 证明:由定理1知:任意一个麦森素数2一1,均有偶完全数2.(2一1)与之对应. 由定理2知:任意一个偶完全数20(2一1)则均有麦森素数2一1与之对应. 当P=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127i521,607,1279,2203,2281,3217,4253, 4423,9689,9941,11213,19937,21701,23209,44497,86243,132049,216091,756839,859433, 1257787时,M=2t一1为麦森素数,从而2p(2p一1)为偶完全数. 特别地, P=2,2t～(2p一1)=6, P:3,2t,～(2p一1)=28, P:5,2p～(2p一1)=496, P:7,2t,～(2p一1)=8128,…… 均是偶完全数. 性质3:每个偶完全数都是由不大于某个麦森素数的自然数之和.即2p(2t,一1)= 证明2∑/_1K: 1(2p一 1)[(2p一1)+1]:2P-l(2p一1) 性质4:每个偶完全数都是三角形数. 证明:设2p(2p一1)是偶完全数,记M=2t,一1. 那么 2p-1(2户一1)=号(+1) ? 48? ● K ∑ 三. d l ● ● 由定义3即知命题成立. 注:性质4是性质3的推论. 性质5:除6外的偶完全数都可以表为奇数的立方和.即口22～2(22k～一1):13+33+…+ (2一1). 证明:若偶完全数2t,-1(2p一1)不等于6.则P为奇素数. 从而设P:2k一1 2●～】2 . I—J ∑(2一1)=∑n3一∑(2) : []z一8×[]z,Jv,L^I =22k-2(2～一1) = 2p一(2p_1). 特别地: 28=10+3