常微分方程第五章线性微分方程组.PPT

第五章　线性微分方程组 云南师范大学数学学院 黄炯 　　　　　　　　　 例如，已知在空间运动的质点 的速度 与时间及点的坐标的关系为 且质点在时刻t经过点 求该质点的运动轨迹。 因为 ,所以这个问题其实就是求一阶微分方程组 满足初始条件 的解 （1.12） 中,令 就可以把它化成等价的一阶微分方程组 注意，这是一个含n个未知函数 的一阶微分方程组。 。 另外，在n阶微分方程 含有n个未知函数 的一阶微分方程组的一般形式为： 此方程组在 上的一个解，是这样的一组函数 使得在 上有恒等式 含有n个任意常数 的解 称为方程组的通解. 如果通解满足方程组 则称后者为(1)的通积分. 如果已求得(1)的通解或通积分，要求满足初始条件 的解，可以把此初始条件代入通解或通积分之中，得到关于 的n个方程式，如果从其中解得 再代回通解或通积分中，就得到所求的初值问题的解. 为了简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(1) 令n维向量函数 并定义 则(1)可记成向量形式 初始条件可记为 其中 这样，从形式上看，一阶方程组 与一阶方程式完全一样了。进一步，对n维向量Y和矩阵 , 定义 易于证明以下性质：　　 当且仅当Y = 0(0表示零向量，下同);  对任意常数 有 对任意常数 有 　　称‖Y‖和‖A‖分别为向量Y和矩阵A的范数。进而还有如下性质 有了以上准备，完全类似于第三章定理3.1， 我们有如下的关于初值问题(1)的解的存在与唯一性定理. 定理5.1 如果函数F(x,Y)在n+1维空间的区域 上满足：　　1) 连续；　　2) 关于Y满足李普希兹条件，即存在N0,使对于R上任意两点 有 则初值问题(1)的解在 上存在且唯一，其中 如果在一阶微分方程组(1)中，函数 方程组（1） 是线性的。 为线性的。 5.2 一阶线性微分方程组的一般概念 关于 则称(1)为一阶线性微分方程组。我们总假设(1)的系数 及 在某个区间 上连续。 向量形式：记： 向量形式 　如果在I上， ,方程组变成 （5.2) 我们把(5.2)称为一阶线性齐次方程组。　　如果(5.2与(5.1)中A(x)相同，则称(5.2)为(5.1)的对应的齐次方程组.与第二章中关于一阶线性微分方程的结果类似，我们可以证明如下的关于(5.1)的满足初始条件(5.3)的解的存在与唯一性定理. （5.1) （5.3) 定理5.1′ 如果(5.1)中的A(x)及F(x)在区间I = 上连续，则对于 上任一点x 以及任意给定的 方程组(5.1)的满足初始条件(5.3)的解在 上存在且唯一. 它的结论与定理3.1的不同之处是： 定理3.1的解的存在区间是局部的， 而定理5.1则指出解在整个区间 上存在. 5.2 一阶线性齐次方程组的一般理论?????1．一阶线性齐次微分方程组解的性质????本节主要研究一阶线性齐次方程组(5.2)的通解结构.为此我们首先从(5.2)的解的性质入手.???? （5.2) ???? 是方程组(5.2)的m个解，则?????????? ??????????????????也是(5.2)的解，其中 是任意常数. 换句话说，线性齐次方程组(5.2)的任何有限个解的线性组合 仍为(5.2)的解. 若?????????? (5.4)?????????? 定理5.2告诉我们，一阶线性齐次微分方程组(5.2)的解集合构成了一个线性空间.为了搞清楚这个线性空间的性质，进而得到方程组(5.2)的解的结构，我们引入如下概念. 定义5.1???????????????????? ，使得?????????????? 在区间I上恒成立，则称这m个向量函数在区间I上线性相关； 否则称它们在区间I上线性无关.???? 显然，两个向量函数 的对应分量成比例是它们在区间I上线性相关的充要条件. 另外，如果在向量组中有一零向量， 则它们在区间I上线性相关.  若有函数组?????????????? ?例3中两个向量函数的各个对应分量都构成线性相关函数组.这个例题说明，向量函数组的线性相关性和由它们的分量构成的函数组的线性相关性并不等价. 下面介绍n个n维向量函数组 ? ??在其定义区间I上线性相关与线性无关的判别准则.????我们考察由这些列向量所组成的行列式???????????????????? 通常把它称为向量组(5.10)的朗斯基(Wronski)行列式. ?????(5.10) ???????????????????? ? 定理5.3 如果向量组(5.10)在区间I上线性相关，则它们的 朗斯基行列式W