两圆的公切线（3）课件.ppt

* (3) 1.通过解题实践进一步加深对两圆内外公切线性质的认识。 2.掌握两圆公切线在几何证题中的运用，学会在证题中适时地添加两圆的内(或外)公切线。 1．复习与回顾： 通过前面两讲的学习，我们不但了解了两圆公切线的概念，而且还掌握了它们的性质、画法以及切线长的计算方法。 (1)公切线的概念： ①外公切线定义：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线． ②内公切线的定义：两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做两圆的内公切线. 和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线． 2.两圆的位置与公切线条数的关系 外公切线数 内公切线数 图形 位置 相离 外切 相交 内切 内含 2 1 0 0 0 2 2 2 1 0 当两圆外切时，外公切线长＝ 。 则两圆外离时：外公切线长＝ 　 内、外公切线长的计算，都是利用直线和圆相切的性质，通过作出过切点的半径，再连结两圆的圆心,把问题转化为解一个直角三角形来解决。 (2)公切线长的概念： (3)公切线的性质： ①两圆的两条外公切线长相等，两圆的两条内公切线长相等。 ②如果两圆有两条公切线，并且相交，那么交点一定在两圆的连心 线上，连心线平分两条公切线的夹角。 (4)公切线长的计算： 设大圆半径为R、小圆半径为r，连心线长为d， 内公切线长＝ 公切线上两个切点的距离叫公切线的长。 3．公切线的运用： 两圆公切线不但在生产上有其具体应用，在几何证题中的应用更是屡见不鲜的。 O1 O2 C A B 例1 如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C为切点 . 求证： AB ⊥ AC . 分析 O 例2 如图，⊙O1与⊙O2外切于A，BC切⊙O1于B，切⊙O2于C，O1O2的延长线交BC的延长线于P。 求证：(1)PA2＝PC·PB　 (2)若⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2－4x＋3＝0的两根，求△ABC的周长。 O1 O2 C P D A B M 分析 分析： O1 O2 C P D A B (1)要证PA2＝PC·PB， PA PB PA PC 只要证 ＝ ， 为此只须证△PAC∽△PAB即可 因为∠P公用， 所以只须证得∠PBA＝∠PAC即可. 若连结O1B、O2C， 由此只要证∠PO1B＝∠PO2C， 由于O1B∥O2C 　 故这是显然的。 则∠PBA＝ ∠PO1B， 1 2 ∠PAC＝ ∠PO2C， 1 2 (2)∵⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2－4x＋3＝0的两根， 由此可求得O1B＝3，O2C＝1， 作O2E⊥O1B　 在Rt△O1EO2中，易得∠O1O2E＝30°， 故可推知∠O1＝60° ∴可求得AB＝3， 然后在Rt△BAC中， 利用AB＝3，∠ABC＝30°， 即可求出AC、BC， 从而可求得△ABC的周长。 O1 O2 C P D A B E M 解:　 又∠PBA＝ ∠PO1B， 1 2 ∠PAC＝ ∠PO2C， 1 2 ∴O1B⊥BC，O2C⊥BC， ∴O1B∥O2C ∠PO1B＝∠PO2C　 ∴∠PBA＝∠PAC 又∠P＝∠P　 ∴△APB∽△CPA　 PA PB PA PC ∴ ＝　 即PA2＝PC·PB ∵BC为外公切线 (1)连结O1B、O2C O1 O2 C P D A B M (2)解方程x2－4x＋3＝0　得x1＝3　x2＝1 ∴O1B＝3，O2C＝1 ∵BC为外公切线 ∴O1B⊥BC，O2C⊥BC， 过O2作O2E⊥O1B于E，则EO2CB为矩形。 ∴∠EO2C＝90°， BE＝O2C＝1， O1E＝O1B－BE＝3－1＝2 又O1O2必过点A，∴O1O2＝3＋1＝4 O1 O2 C P D A B E M 在△ABC中， 从而∠O1＝60°　 ∴∠BAC＝90° ∴O1E＝ O1O2　 1 2 ∠ACB＝ ∠O1O2C＝ (180°－60°)＝60° 1 2 1 2 cos∠O1＝? ∴AB＝O1B=O1A＝3 1 2 ∠ABC＝ ∠O1＝30° ∴CB＝ AB= ×3＝　 2 2 3 2 AC＝ AB＝ ×3＝ 1 3 ∴△ABC的周长3＋ ＋2 ＝3＋3 O1 O2 C P D A B E M 1 2 例2 如图，两圆内切于点P，CD为小圆的直径，连结PC、PD并延长　交大圆于E、F，大圆的弦切小圆于D，交EF　　 分析：(1)要证AG＝GB， 求证：(1)AG＝GB；(2)AD·DB＝CD·FG 。 P O1 O2 C E D A B G F T 只要证明EF是⊙O2的直径，