有限元与有限差分法基础超详细版本.ppt

(1）计算边界上各结点的φ 、 和 值。 取A为基点，且 由上面公式所得的计算结果见下表。 （2）计算边界外以行各虚结点处的值。 由式（2-6）及前表可得 (3）边界内各结点的差分方程,由式（2-2）可知 联立求解上式，可得（以qh2为单位 ) （4）计算结点外一行各结点处的值。由(a)、(b)、(c)可得 （5）计算应力。对于结点M，由式（1）可知 同理可得 沿着梁的中线MA，的变化如下图和右图所示。 差分方法的优缺点 优点： 1.差分法是解微分方程边值问题和弹性力学问题的有效方法； 2.差分法简便易行； 3.对于某些结构，为了更精确地分析局部的应力状态，可以用差分法进行分析； 缺点： 1.对于曲线边界和斜边界等产生的不等间距网格的处理，比较麻烦和易于出错； 2.比较比较适用于求解二维问题或平面问题； 3.比较适用于等间距网格，对于应力变化较为剧烈时，需要采用二次网格进行计算。 课堂作业 用差分法计算下图中A和B点的应力分量。 F F B A a a 2 3 4 1 6 5 X Y ·7 THANK YOU SUCCESS * * 可编辑 方程组求解过程—系数矩阵存贮 系数矩阵存贮 如果节点号排序优化的比较好，系数矩阵的存贮量就会减少很多。根据系数矩阵的对称性，一般都是按半带宽存贮。 系数矩阵存贮的方法 二维等带宽存贮 一维变带宽存贮 方程组求解过程—二维等带宽存贮 二维等带宽存贮 方程组求解过程—二维等带宽存贮 二维等带宽存贮消除了最大带宽以外的全部零元素，节省了系数矩阵元素的存贮量。但是由于取最大带宽为存贮范围，因此不能排除在带宽内的大量零元素。当系数矩阵的各行带宽变化不大时，适合采用二维等带宽存贮，方程组求解过程中系数矩阵元素的寻址也比较方便，求解效率较高。 当出现局部带宽特别大的情况时，采用二维等带宽存贮时，将由于局部带宽过大而使整体系数矩阵的存贮大大增加。 方程组求解过程—一维变带宽存贮 一维变带宽存贮 一维变带宽存贮方法就是把变化的带宽内的元素按一定的顺序存贮在一个一维数组中。由于它不按最大带宽存贮，因此比二维等带宽存贮更节省内存。按照解法可分为按行一维变带宽存贮和按列一维变带宽存贮。 按行一维变带宽存贮 方程组求解过程—一维变带宽存贮 辅助的寻址数组M 一维变带宽存贮是最节省内存的一种方法，但是由于要借助于寻址数组寻找系数矩阵元素的位置，相对二维等带宽存贮方法来说要复杂一些，而且在程序实现时也要复杂得多，方程组求解过程中也要消耗一些数组寻址时间。因此，在选用存贮方法时要权衡二者的利弊，统盘考虑。一般当带宽变化不大，计算机内存允许时，采用二维等带宽存贮方法是比较合适的。 方程组求解过程—一维变带宽存贮 方程组求解过程—求解方法 方程组求解方法 高斯消去法 三角分解法 雅可比（Jacobi）迭代法 高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法 应变、应力回代过程 单元应变和应力回代求解 通过求解有限元平衡方程得到有限元节点位移后，就可以进行系统的刚度校核。如果所分析问题要进行强度校核，就要回代求解单元的应变和应力。 由插值关系和几何关系可得单元应变，再通过本构关系得到单元应力 有限差分法 从弹性力学的基本方程建立以来，这些方程在各种问题的边界条件下如何求解，一直是很多数学工作者和力学工作者研究的内容。即弹性力学的经典解法存在一定的局限性，当弹性体的边界条件和受载情况复杂一点，往往无法求得偏微分方程的边值问题的解析解，许多工程重要问题，不能够得出函数式的解答。 因此，弹性力学问题的各种数值解法便具有重要的实际意义。 工程中常用的数值解法有有限单元法和差分法。 有限单元法 是以有限个单元的集合体来代替连续体，属于物理上的近似。 差分法 是把弹性力学的基本方程和边界条件（一般均为微分方程）近似地改用差分方程（代数方程）来表示，把求解微分方程的问题改换成为求解代数方程的问题，属于数学上的近似。 第一节 差分方程 第二节 应力函数的差分解 第三节 深梁应力函数的差分解 第一节 差分方程 差分法是沿用已久的一种数值解法。随着计算机的普及和相应的软件发展，此法成为解弹性力学问题的一种有效的方法。 我们在弹性体上，用相隔等间距h而平行于坐标轴的两组平行线织成正方形网格，Δx=Δy=h，如图。 设f=f(x,y)为弹性体内的某一个连续函数。该函数在平行于x轴的一根网线上，如在３-０-１上,它只随x坐标的改变而变化。在邻近结点０处，函数f可展为泰勒级数如下： 我们将只考虑离开结点０充分近的那些结点，