直线与平面--平面与平面垂直的性质.PPT

1.已知直线 和平面 , 如果 , 那么 的位置关系如何? 2.设 ,且 那么直线AB与平面 的位置关系如何? 3.设平面 垂直平面 , 点P在平面 内, 过点P作平面 的垂线 , 直线 与平面 具有什么位置关系? 线面、面面垂直的性质定理 1．线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行 (线面垂直→线线平行)． 2．面面垂直性质定理①：两个平面垂直，则一个平面内垂 直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号语言表示为：若α⊥ β，α∩β＝l，a?α，a⊥l，则a⊥β(面面垂直→线面垂直)． 3．面面垂直性质定理②：如果两个平面互相垂直， 那么 经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个 平面内． 直线与平面垂直的性质定理的简单应用 例 1：如图 1，在四面体 P－ABC 中，若 PA ⊥BC，PB⊥AC， 求证：PC⊥AB. 图 1 思维突破：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面 垂直的定义得出线线垂直． 证明：过 P 作 PH⊥平面 ABC，垂足为 H，连接 AH、BH 和 CH. ∵PA ⊥BC, PH⊥BC，PA ∩PH＝P， ∴BC⊥平面 PAH. 又 AH?平面 PAH ，∴BC⊥AH. 同理 AC⊥BH，即 H 为△ABC 的垂心， ∴AB⊥CH. ∵PH⊥AB，CH∩PH＝H，∴AB⊥平面 PCH. ∵PC?平面 PCH，∴PC⊥AB. 点评：从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在 解(证)题中的作用． 1－1.已知 a、b 是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面， a⊥α，b⊥β，则下列命题中不正确的是( ) B A．若 a 与 b 相交，则α与β相交 B．若α与β相交，则 a 与 b 相交 C．若 a∥b，则α∥β D．若α⊥β，则 a⊥b 解析：α与β相交，a 与 b 可能是异面直线． 1－2.α、β是两个不同的平面，m、n 是α、β之外的两条不同 的直线，给出以下四个论断： ①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α. 以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认 为正确的一个命题___________. ①③④→② 解析：答案不唯一，如：②③④→①也正确． 图 2 证明：作 AH⊥SB 于 H. ∵平面 SAB⊥平面 SBC， ∴AH⊥平面 SBC. ∴AH⊥BC. 又 SA⊥平面 ABC，∴SA⊥BC. 又∵AH∩SA＝A， ∴BC⊥平面 SAB.∴BC⊥AB. 面面垂直→线面垂直． 平面与平面垂直的性质定理的简单应用 例 2：如图 2，在三棱锥 S－ABC 中，SA⊥平面 ABC，平面 SAB⊥平面 SBC.求证：AB⊥BC. 2－1.如图 3，四棱锥 V－ABCD 的底面为矩形，侧面 VAB ⊥底面 ABCD，且 VB⊥平面 VAD. 求证：平面 VBC⊥平面 VAC. 图 3 证明：∵四边形 ABCD 为矩形，∴BC⊥AB. 又∵面 VBA⊥面 ABCD，面 VBA∩面 ABCD＝AB， ∴BC⊥面 VAB.∴BC⊥VA. ∵VB⊥面 VAD，∴VB⊥VA. ∵VB∩BC＝B，∴VA⊥面 VBC. 又∵VA?面 VAC，∴面 VBC⊥面 VAC. 面面垂直的综合应用 例 3：如图 4，已知矩形 ABCD，过 A 作 SA⊥平面 AC，AE ⊥SB 于 E 点，过 E 作 EF⊥SC 于 F 点． (1)求证：AF⊥SC； (2)若平面 AEF 交 SD 于 G，求证：AG⊥SD. 图 4 证明：(1)∵SA⊥平面AC，BC?平面AC， ∴SA⊥BC. ∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB⊥BC. ∴BC⊥平面 SAB. 又 AE?平面 SBC，∴BC⊥AE. 又 SB⊥AE，∴AE⊥平面 SBC. ∴AE⊥SC. 又 EF⊥SC，∴SC⊥平面 AEF， ∴AF⊥SC. (2)∵SA⊥平面 AC，DC?平面 AC， ∴SA⊥DC. 又 AD⊥DC，∴DC⊥平面 SAD. 又 AG?平面 SAD，∴DC⊥AG. 又由(1)有 SC⊥平面 AEF，AG?平面 AEF， ∴SC⊥AG，且 SC∩DC＝C， ∴AG⊥平面 SDC.∴AG⊥SD. 3 －1. 已知 PA ⊥矩形 ABCD 所在平面，平面 PDC 与平面 ABCD 成 45°角，M、N 分别