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《平面向量的基本定理》的教学设计
一、教学内容分析
普通高中课程标准实验教科书必修4、§2.3.1平面向量基本定理(第一课时)。
平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点。平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合。
作为一种数学工具,在中学数学中向量的优势更多地体现在沟通几何与代数,并将几何及其它的一些问题通过代数运算来研究,这样一个思辨的过程变为了一种程序化的操作过程. 向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础,因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解建立坐标系才有了依据,同时,只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算.向量基本定理的研究综合了前面的向量知识,同时又为后继的内容作了奠基,这就决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位.
二、教学问题诊断分析
本节的内容是围绕向量在两个基底上的唯一分解展开的,对于基底的认识和理解是学生在学习中已在运用的,在物理中已有了将力、速度(向量)进行分解合成的经验,在前面的向量学习中已有向量线性运算的经验,只是没有专门提出而已,所以引入基底这一概念应该是比较自然的,但相当一部分学生在学习中只是依样画葫芦,并不清楚引入基底这个概念的意义,当然更不能很好地选择、运用基底进行运算求解,.有了平面向量基本定理,可在教学中进行设计引导,运用定理说理,让学生理解基底的作用及意义.
对于平面向量的基本定理,有些学生只是从形式上加以记忆,缺乏对问题本质的理解,所以在这一内容的教学中教师要将不断地帮助学生进行反思,通过对教学过程的反思来帮助学生改进学习方法,这也是改善学生的思维品质,提升学生的数学能力的一个途径。
?三、学习目标分析
1、知识与技能
了解平面向量基本定理及其意义,会利用向量基本定理解决简单问题;
培养学生分析、抽象、概括的推理能力。
2、过程与方法
通过平面向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般的思维方法;
通过本节学习,体会用基底表示平面内任一向量的方法。
3、情感.态度与价值观
(1)通过本节学习,培养学生的理性思维,培养学生独立思考及勇于探求、敢于创新的精神、培养主动学习的意识;
(2)通过平面向量基本定理的探求过程,培养学生观察能力、抽象概括能力、独立思考的能力,激发学生学习数学的兴趣。
四、教学重点、难点
重点:平面向量基本定理的应用
难点:对平面向量基本定理的发现和形成过程,数学思想的渗透。
五、教学方法与手段
探求式教学法、多媒体手段
六、教学过程
1、创设情景
以媒体展示常娥一号的成功升空,引出火箭的发射运动过程中,始终能分解为两个方向上的运动(两个不共线向量的线性组合)切入主题
2、数学探究
探究一 给定一个向量是否一定可以用“一个”已知非零向量表示?
(复习向量共线定理)
探究二 平面内给定一个向量是否一定可以用“两个”已知不共线向量表示?
D
D
C
A
e1
e2
B
引导学生观察,提问:是否可以用含有、的式子表示出来?
O
O
B
N
MM
CM
= = = =
==+=+
再问::一对实数、是否惟一?
(学生讨论并回答)
点评: 由作图中分解结果的惟一,决定了两个分解向量的惟一。由平行向量基本定理,有且只有一个实数,使得=成立,同理也惟一,即一组数、惟一确定。
学生进一步尝试概括定理:
如果和是平面内的两个不平行的向量,那么对于该平面内的给定向量存在惟一的一对实数、,使=+。
平面向量基本定理:如果和是一平面内的两个不共线的向量,那么该平面内的任一向量,存在惟一的一对实数、,使=+。
说明:1、我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2、定理中,,是两不共线向量。
3 、是平面内的任一向量,且实数对、是惟一的。
4、平面内任意两个不共线向量都可作为一组基底。
七、运用新知,解决问题
例1 已知ABCD的两条对角线相交于点M,设=,=,试用基底、表示、、和。
思考一:能否用、表示、?用怎样的法则运算?
MABCD思考二:,
M
A
B
C
D
学生回答,并完成题目,归纳解题方法。
解:,
解题体会: 1本题是平面向量基本定理的应用,由于、不共线,所以平面内的所有向量都可以用它们作基底来表示。
2解此类题目的关键是找所求向量与基底间的关系,常通过观察图形,运用向量加减法的平行四边形法则和三角形法则来寻求。
例2 如图:质量为m的物体静止的放在斜面上,斜面与水平面的夹角为,求斜面与物体的摩擦力
解:物体受到三个力:
重力 (方向竖直向下,大小为mgN),斜面支持力,摩察力
因为物体静止,所以上面三个力平衡,
有 ++=0
则 -=+ │-│=││
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