球的内切与外接问题讲课.PPT

二、球与多面体的接、切 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球。 一、复习 球体的体积与表面积 ① ② 解决“接切”问题的关键是画出正确的截面，把空间“接切”转化为平面“接切”问题 正方体的内切球 正方体的内切球的半径是棱长的一半 正方体的外接球 正方体的外接球半径是体对角线的一半 A B C D D1 C1 B1 A1 O 正方体的棱切球 正方体的棱切球半径是面对角线长的一半 球与正方体的“接切”问题 典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比. 1. 已知长方体的长、宽、高分别是 、 、1 ，求长方体的外接球的体积。 变题： 2. 已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两互相垂直，若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积和体积。 A C B P O 四面体与球的“接切”问题 典型：正四面体ABCD的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径R. 思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？ 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法 O1 A B E O O1 A B E O 1 例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全 面积和球的表面积。 过侧棱AB与球心O作截面( 如图 ) 在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高 O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高 O1 A B E O O1 A B E O 1 例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全 面积和球的表面积。 设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r 作 OF ⊥ AE 于 F F ∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E O1 A B E O 1 θ 在 Rt △ AO1E 中 在 Rt △ OO1E 中 例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全 面积和球的表面积。 例 、正三棱锥的高为 1，底面边长为 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全 面积和球的表面积。 O A B C D 设球的半径为 r，则 VA- BCD = VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD 球的表面积与体积 变题 作业 球的表面积与体积 【思路点拨】　根据球截面性质找出球半径与截面圆半径和球心到截面距离的关系，求出球半径．